Reševanje problemov nihala z Newtonovo metodo

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
Večna študentka
Prispevkov: 21
Pridružen: 11.4.2015 12:24

Reševanje problemov nihala z Newtonovo metodo

Odgovor Napisal/-a Večna študentka »

Pozdrav,

Imam težavo pri reševanju naloge pri kateri moram uporabiti Newtonovo metodo. Naloga pravi:

Reši naslednje probleme nihala, ki zadošča diferencialni enačbi

\(\varphi^{\prime \prime} = -\frac{g}{l}\sin(\varphi), \hspace{4mm}
\varphi(0) = \varphi_0, \hspace{4mm}
\varphi^\prime(0) = \varphi^{\prime}_0, \hspace{4mm}
\varphi(\tau) = \varphi_0\)


a) Nihalo določene dolžine \(l\) odmaknemo za določeni kot \(\varphi_0\) iz ravnovesne lege. Kolikšen je čas \(\tau\) enega nihaja (perioda)? Reši z Newtonovo metodo.
b) Za nihalo določene dolžine \(l\) poišči začetni odmik \(\varphi_0\) iz ravnovesne lege, da bo imelo določen nihajni čas \(\tau\). Reši z Newtonovo metodo.
c) Poišči dolžino \(l\) nihala, da bo imelo pri podanem začetnem odmiku \(\varphi_0\) iz ravnovesne lege določen čas \(\tau\) enega nihaja. Računaj z Newtonovo metodo.

Do kam sem jaz prišla....
Splošna oblika enačbe nihala je \(\varphi(t) = A\cos{(\omega t + \varphi)}\), če so pogoji taki kot jih imam jaz. Pri tem je tudi \(\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}\)
\(\varphi(0) = \varphi_0, \hspace{4mm}
\varphi^\prime(0) = 0\)
, pri meni je pa pogoj \(\varphi^\prime(0) = \varphi^{\prime}_0\), kar je isto, ker če je \(\varphi_0\) konstanta, potem je odvod od konstante enak 0 in mam te iste pogoje, da lahko uporabim to enačbo.

Če začnem reševat:
\(\varphi(t) = A \cos{(\omega t + \varphi)}\)
\(\varphi^{\prime}(t) = -A\omega \sin{(\omega t + \varphi)} \to \varphi^{\prime}(0) = 0 \to 0 = -A\omega \sin{(\omega t + \varphi)} \to 0 = -A\omega \sin{(\varphi)} \to \varphi = 0\)

\(\varphi(0) = \varphi_0 \to \varphi_0 = A\cos(\omega t + 0) \to \varphi_0 = A\cos(0) \to \varphi_0 = A\).
Če vstavim vse kar sem izračunala, dobim \(\varphi(t) = \varphi_0\cos{(\sqrt{\frac{g}{l}}t)}\). Tu imam še en pogoj in sicer \(\varphi(\tau) = \varphi_0\). Zdaj me pa zanima koliko mora biti \(t\), da je izpolnjen začetni pogoj. To bo takrat, ko bo argument \(\cos\) enak \(2\pi\), saj vemo, da je \(\cos(2\pi) = 1\).

Iz tod sledi, da je \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\) za dovolj majhen \(\varphi\) \((\varphi << 10°)\). Če je začetni odmik večji, je potem čas nihaja \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}[1+\frac{1}{4}(\sin^2{(\frac{\alpha}{2})})^2 + \frac{9}{64}(\sin^2{(\frac{\alpha}{2})})^4+\frac{25}{256}(\sin^2{(\frac{\alpha}{2})})^6 + \dots]\)

To enačbo lahko preuredimo, da poiščemo dolžino \(l\) nihala. Dobimo: \(l = \frac{T^2g}{4\pi^2}\).

a) Če je \(\varphi_0\) dovolj majhen (manj kot 10°) potem je za nihalo, dolžine \(l=5m\), čas neodvisen od izbire kota. In dobim \(\tau = 4,49 s\). Če je pa kot recimo 85°, potem pa pride \(\tau = 4,75 s\). Kako pa do tega konkretno pridem z Newtonovo metodo?

b) Tu nimam prave ideje tud brez Newtonove metode. Ampak, če si predstavljam odmaknjeno stranico nihala kot vektor, ki ga oklepa še vektor v ravnovesni legi in če je y os enaka vrednosti \(\varphi\) pol bi nekak mogla odštevat višino, da dobim kot. Al kako bi to nardila?

c) Glede na to, da iščem dolžino nihala, ga lahko premaknem poljubno za manj kot 10° in, če nihalo niha \(2s\), potem je dolžina nihala \(l = 1m\). In kako to z Newtonovo metodo narest?

Prosim za pomoč :oops:

Večna študentka
Prispevkov: 21
Pridružen: 11.4.2015 12:24

Re: Reševanje problemov nihala z Newtonovo metodo

Odgovor Napisal/-a Večna študentka »

Ok, zaenkrat sem pogruntala primer za a). Zapisujem rešitev v primeru, da bo še kdo naletel na ta problem in zato, da me popravite, če sem zafrknila :wink:

a) Nihalo določene dolžine \(l\) odmaknemo za določeni kot \(\varphi_0\) iz ravnovesne lege. Kolikšen je čas \(\tau\) enega nihaja (perioda)? Reši z Newtonovo metodo.

Newtonova metoda za iskanje ničel na grafu:

\(t_{r+1} = t_r - \frac{h(t_r)}{h^{\prime}(t_r)}\)

Na tem mestu vpeljem novo funkcijo \(h(t) = \varphi(t)-\varphi_0\) - to je tista višina, ki sem jo v prejšnjem postu omenila...

\(h(t) = \varphi_0\cos(\sqrt{\frac{g}{l}}t)-\varphi_0 \to h(t) = \varphi_0(\cos(\sqrt{\frac{g}{l}}t)-1)\)
\(h^{\prime}(t) = -\varphi_0\sin(\sqrt{\frac{g}{l}}t)\)

Zdaj pa konkreten primer:
\(l=5m, \varphi_0 = \frac{\pi}{6}, T=?\)

Ocena za \(t \to t = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}} = 4.48s\)

Nekje moram začet in zato si izberem nek približek časa s katerim bom operirala. Naj bo to npr. 3s, to zapišem \(t_r = 3\)

\(h(3) = \frac{\pi}{6}(\cos(\sqrt{\frac{9.8}{5}} \cdot 3)-1) = -0.7803\)
\(h^{\prime}(3) = -\frac{\pi}{6}\sin(\sqrt{\frac{9.8}{5}} \cdot 3) = 0.4563\)

\(t_{r+1} = 3 + \frac{0.7803}{0.4563} = 4.71\) Ponavljam postopek, dokler je razlika v rezultatu že tako majhna, da se mi ne splača več računat naprej.

\(h(4.71) = \frac{\pi}{6}(\cos(\sqrt{\frac{9.8}{5}} \cdot 4.71)-1) = -0.025\)
\(h^{\prime}(4.71) = -\frac{\pi}{6}\sin(\sqrt{\frac{9.8}{5}} \cdot 4.71) = -0.1601\)

\(t_{r+1} = 4.71 - \frac{0.025}{0.1601} = 4.5538\)

\(h(4.5538) = \frac{\pi}{6}(\cos(\sqrt{\frac{9.8}{5}} \cdot 4.5538)-1) = -0.004\)
\(h^{\prime}(4.5538) = -\frac{\pi}{6}\sin(\sqrt{\frac{9.8}{5}} \cdot 4.5538) = -0.0481\)

\(t_{r+1} = 4.5538 - \frac{0.025}{0.1601} = 4.4706\)

\(h(4.4706) = \frac{\pi}{6}(\cos(\sqrt{\frac{9.8}{5}} \cdot 4.4706)-1) = -0.000155\)
\(h^{\prime}(4.4706) = -\frac{\pi}{6}\sin(\sqrt{\frac{9.8}{5}} \cdot 4.4706) = 0.01274\)

\(t_{r+1} = 4.4706 - \frac{0.025}{0.1601} = 4.482\) - Lahko neham.

Odgovor: Čas enega nihaja (ene periode) je 4.482 s po Newtonovi metodi. :)

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14575
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Reševanje problemov nihala z Newtonovo metodo

Odgovor Napisal/-a shrink »

Izpeljana rešitev v prvem postu:

\(\varphi(t) = \varphi_0\cos{(\sqrt{\frac{g}{l}}t)}\)

velja le za linearen primer, ko je \(\sin\varphi\approx\varphi\).

Za nelinearen primer bo treba uporabiti drugačen nastavek (recimo s časovno odvisno fazo), osebno pa bi problem reševal drugače: recimo s kombinacijo strelske in Newtonove metode.

Večna študentka
Prispevkov: 21
Pridružen: 11.4.2015 12:24

Re: Reševanje problemov nihala z Newtonovo metodo

Odgovor Napisal/-a Večna študentka »

O Shrink, sem upala, da prideš kaj naokoli :)

Kaj pa, če moram rešiti samo z Newtonovo metodo?

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14575
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Reševanje problemov nihala z Newtonovo metodo

Odgovor Napisal/-a shrink »

Bolj težko. Raba Newtonove metode se, kot sem že omenil, najbrž nanaša na strelsko metodo reševanja robnih problemov, kar je tudi tvoj primer.

Večna študentka
Prispevkov: 21
Pridružen: 11.4.2015 12:24

Re: Reševanje problemov nihala z Newtonovo metodo

Odgovor Napisal/-a Večna študentka »

Našla zapiske teorije za strelsko metodo...

Strelska metoda pravi:

Predpis: \(y^{\prime\prime} = f(x,y,y^{\prime}); \hspace{4mm} y(a) = \alpha,\hspace{4mm} y(b) = \beta\). Ne poznamo \(y^{\prime}(a)\)!

Postopek:
1.) Izberemo \(y^{\prime}(a) = k_1\) in rešimo začetni problem \(y^{\prime\prime} = f(x,y,y^{\prime}); \hspace{4mm} y(a) = \alpha,\hspace{4mm} y^{\prime}(\alpha) = k_1\)

2.) Ponovimo postopek iz 1.) z izbrano vrednostjo \(y^{\prime}(\alpha) = k_2 \ne k_1\).

3.) Postopek nadaljujemo. Označimo z \(F(k)\) vrednost rešitve problema \(y^{\prime\prime} = f(x,y,y^{\prime}); \hspace{4mm} y(a) = \alpha,\hspace{4mm} y^{\prime}(\alpha) = k_1\) v točki \(x = b\). Iščemo tako vrednost \(k\), da bo \(F(k) = \beta\).

\(G(k) = F(k) - \beta = 0\).

Ok, če prevedem to na moj problem. Se pravi...

\(f(t,\varphi,\varphi^{\prime}) = \varphi^{\prime\prime} = -\frac{g}{l}\sin(\varphi), \hspace{4mm} \varphi(t_1) = \varphi_1, \hspace{4mm} \varphi(t_2) = \varphi_2\).

Pa še \(l = 1m, \tau = 2s\)

1. Izberem \(\varphi^{\prime}(t_1) = k_1\), naj bo k = 0.5 (si ga poljubno izberem) in rešim začetni problem. Če jaz to sploh prav razumem, si izberem tudi \(t_1 = 0.2, \hspace{4mm} t_2 = 2\), kjer sem za \(t_2\) vzela kar nihajni čas. A lahko?

\(k_1 = 0.5 = -\varphi_0\sin(0.2\sqrt{9.8})\) in dobim \(\varphi_0 = - \frac{0.5}{\sin{(0.2\sqrt{9.8})}} \to \varphi_0 = -0.853259\)

2. Nadaljujem a si zberem \(k_2\)
\(k_2 = 0.25 = -\varphi_0\sin(0.2\sqrt{9.8})\) in dobim \(\varphi_0 = - \frac{0.25}{\sin{(0.2\sqrt{9.8})}} \to \varphi_0 = -0.42663\)

3. Če razumem tretjo točko potem zdaj v te enačbe, ki sem jih zdaj reševala za \(k_1, k_2\) in \(t_1\), vstavim \(t_2\), in rešujem tole \(y^{\prime\prime} = f(x,y,y^{\prime}); \hspace{4mm} y(b) = \alpha,\hspace{4mm} y^{\prime}(\alpha) = k_1\):

\(F(k_1) = -\varphi_0\sin(2\sqrt{9.8})\) in dobim \(\varphi_0 = - \frac{0.5}{\sin{(2\sqrt{9.8})}} \to \varphi_0 = 22.5295\)
\(F(k_2) = -\varphi_0\sin(2\sqrt{9.8})\) in dobim \(\varphi_0 = - \frac{0.25}{\sin{(2\sqrt{9.8})}} \to \varphi_0 = 11.2647\)

Do tu sploh ne vem, če je prav ali ne, tako da niti ne vem kako naprej. :( :( :oops: :oops:

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14575
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Reševanje problemov nihala z Newtonovo metodo

Odgovor Napisal/-a shrink »

Ja, sorry, me je zavedel primer c), da sem mislil, da gre za robni problem, a gre v resnici za problem začetne vrednosti.

Sem še malo pogledal in najbrž reševanje z Newtonovo metodo pomeni pristop opisan tukaj na str. 169-176.

Tu je kot integrator/integracijska metoda izbrana metoda končnih razlik (lahko se uporabi tudi karkoli drugega), Newtonova metoda pa služi za reševanje sistema enačb, ki se dobi z diskretizacijo. Navedena je tudi koda v MATLAB-u za primer nelinearne diferencialne enačbe tipa:

\(u''=-f(u)\)

kar je ravno tip diferencialne enačbe v tvojem primeru.

Kodo (če imaš MATLAB) lahko prirediš za svoj primer.

Ne vem pa, če je to pristop, ki ga pričakuje sestavljalec tvojega primera.

Večna študentka
Prispevkov: 21
Pridružen: 11.4.2015 12:24

Re: Reševanje problemov nihala z Newtonovo metodo

Odgovor Napisal/-a Večna študentka »

Sestavljalec mojega primera pričakuje rešitev v Matlabu. Ampak jst očitno ne znam sestavit nelinearne enačbe za b) primer in sploh ne vem kaj naj vpišem not v Matlab. :shock:

A je kaj pravilnega v tem mojem postopku za strelsko metodo, shrink??

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14575
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Reševanje problemov nihala z Newtonovo metodo

Odgovor Napisal/-a shrink »

Strelska metoda ne pride v poštev, ker je znan prvi odvod v začetni točki.

Za primer b) bi rekel, da se ga lotiš kot primer a) za nazaj: torej iz začetne točke \(\varphi^\prime(\tau) = \varphi^{\prime}_0\), \(\varphi(\tau) = \varphi_0\) in namesto, da v algoritmu prištevaš čas, ga pač odštevaš.

Večna študentka
Prispevkov: 21
Pridružen: 11.4.2015 12:24

Re: Reševanje problemov nihala z Newtonovo metodo

Odgovor Napisal/-a Večna študentka »

Bom poskusla. Hvala ti shrink za čas, ki ga vlagaš za pomagat :)

Odgovori