Določeni integral - volumen vrtenine

Ko tudi učitelj ne more pomagati...
Odgovori
ahonen
Prispevkov: 115
Pridružen: 1.2.2014 11:42

Določeni integral - volumen vrtenine

Odgovor Napisal/-a ahonen »

Pozdravljeni, imam probleme z nalogo, pri čemer moramo funkcijo f(x)=x^2-5x+6 zavrteti okoli x osi.
Postopek reševanja je na spodnji sliki, pri čemer je rezultat napačen, pravilen je namreč V = pi/30.
Hvala!
Slika

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14585
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Določeni integral - volumen vrtenine

Odgovor Napisal/-a shrink »

Mišljena je samo prostornina vrtenine med parabolo in x osjo, torej je integral v mejah med 2 in 3:

\(\displaystyle\pi\int_2^3(x^2-5x+6)^2 dx\)

Rezultat:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=P ... Bx,2,3%7D)

P.S. Pa drugič v svojih računih ne pozabi na \(dx\).

ahonen
Prispevkov: 115
Pridružen: 1.2.2014 11:42

Re: Določeni integral - volumen vrtenine

Odgovor Napisal/-a ahonen »

Najlepša hvala za odgovor, sem videl napako ja :)
Naletel sem na še en problem. V tem primeru imam 2 funkciji ter abscisno os ki določajo lik.
Na sliki je moj postopek reševanja, ki se mi zdi logičen, saj od zgornje krivulje odštejem spodnjo, pri čemer obe kvadriram, odštejem višje ležečo od nižje ter nato obe integriram in dobim negativen volumen. Kaj delam narobe?
Slika

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14585
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Določeni integral - volumen vrtenine

Odgovor Napisal/-a shrink »

Narobe je to, da integral, ki si ga zapisal, ne predstavlja volumna vrtenine, ki ga iščeš: če pogledaš svojo skico, vidiš, da iskana vrtenina nastane z rotacijo šrafiranega lika okoli osi x. Vrtenina je torej paraboloid (ta nastane z vrtenjem parabole okoli osi x v mejah od 0 do 4), ki ima izsekan stožec (ta nastane z vrtenjem premice okoli osi x v mejah od 3 do 4). Volumen vrtenine je torej volumen navedenega paraboloida minus volumen navedenega stožca.

ahonen
Prispevkov: 115
Pridružen: 1.2.2014 11:42

Re: Določeni integral - volumen vrtenine

Odgovor Napisal/-a ahonen »

Hvala za razlago!!

Odgovori