Določeni integral - volumen vrtenine

[ahonen]

Pozdravljeni, imam probleme z nalogo, pri čemer moramo funkcijo f(x)=x^2-5x+6 zavrteti okoli x osi.
Postopek reševanja je na spodnji sliki, pri čemer je rezultat napačen, pravilen je namreč V = pi/30.
Hvala!

[shrink]

Mišljena je samo prostornina vrtenine med parabolo in x osjo, torej je integral v mejah med 2 in 3:

\(\displaystyle\pi\int_2^3(x^2-5x+6)^2 dx\)

Rezultat:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=P ... Bx,2,3%7D)

P.S. Pa drugič v svojih računih ne pozabi na \(dx\).

[ahonen]

Najlepša hvala za odgovor, sem videl napako ja
Naletel sem na še en problem. V tem primeru imam 2 funkciji ter abscisno os ki določajo lik.
Na sliki je moj postopek reševanja, ki se mi zdi logičen, saj od zgornje krivulje odštejem spodnjo, pri čemer obe kvadriram, odštejem višje ležečo od nižje ter nato obe integriram in dobim negativen volumen. Kaj delam narobe?

[shrink]

Narobe je to, da integral, ki si ga zapisal, ne predstavlja volumna vrtenine, ki ga iščeš: če pogledaš svojo skico, vidiš, da iskana vrtenina nastane z rotacijo šrafiranega lika okoli osi x. Vrtenina je torej paraboloid (ta nastane z vrtenjem parabole okoli osi x v mejah od 0 do 4), ki ima izsekan stožec (ta nastane z vrtenjem premice okoli osi x v mejah od 3 do 4). Volumen vrtenine je torej volumen navedenega paraboloida minus volumen navedenega stožca.

[ahonen]

Hvala za razlago!!