Kdo dokaže naslednji neenakosti

O matematiki, številih, množicah in računih...
Post Reply
MatejaFH
Posts: 8
Joined: 24.4.2015 14:10

Kdo dokaže naslednji neenakosti

Post by MatejaFH » 24.5.2019 21:38

1. Naj bodo x, y in z pozitivna realma števila. Dokaži, da velja:
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge \frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\)

2 Dokaži, da za vsa realna števila x in y velja neenakost:

\(cos(x^2)+cos(y^2)-cos(xy)<3\)

qg
Posts: 772
Joined: 13.1.2006 20:05

Re: Kdo dokaže naslednji neenakosti

Post by qg » 2.6.2019 23:15

Pri nalogi 1 lahko uvedemo naslednje nadomestne spremenljivke:
\(\Delta x= y-x \)
\(\Delta y= z-y \)
\(\Delta z= x-z \)
Torej neenačba izgleda:
\((1-\Delta z/y)^2+(1-\Delta x/z)^2+(1-\Delta y/x)^2\geq \\
(1+\Delta x/x)+(1+\Delta y/y)+(1+\Delta z/z)\)

torej
\((-2\Delta z/y+(\Delta z/y)^2)+(-2\Delta x/z+(\Delta x/z)^2)+
(-2\Delta y/x+(\Delta y/x)^2)\\
\geq \Delta x/x+\Delta y/y+\Delta z/z\)

Recimo, da imajo \(x\), \(y\), in \(z\) vrednosti 1, 2, 10. Če jih krožno permutiramo, torej v 2,10, 1 ali 10, 1, 2, ugotovimo, da enačba ostane ista. Druga varianta pa je 1, 10, 2, in tudi te permutiramo krožno. Ugotovimo, da je rezultat drugačen od prejšnega, a spet trikrat enak in vsota levih linearnih členov postane nasprotno enaka prejšni vsoti desnih linearnih členov (brez faktorja 2) in obratno.

Poleg tega lahko ugotovimo, da so vsote členov na desni vedno pozitivne, vsote linearnih členov na levi so vedno negativne, ko pa upoštevamo minuse, so vedno pozitivne. Tako se da nadalje ugotoviti, da so linearni členi na levi večji od linearnih členov na desni, to pa potrdi neenačbo. Če dodamo še kvadratne člene, neenačbo še bolj potrdimo. Le, da tu nisem pokazal vseh dokazov, a tako nekako pridemo do rezultata. Sem pa zgornjo enačbo in omenjene delne račune preverjal v Excelu, a tudi strogo matematično tu ne bi smel biti več velik problem.

Le če so vse \(\Delta x\), \(\Delta y\) in \(\Delta z\) vrednosti enake nič potem velja enačba.

qg
Posts: 772
Joined: 13.1.2006 20:05

Re: Kdo dokaže naslednji neenakosti

Post by qg » 5.6.2019 10:03

Naloga 1:
To, da je desni del neenačbe
\((-2\Delta z/y+(\Delta z/y)^2)+(-2\Delta x/z+(\Delta x/z)^2)+
(-2\Delta y/x+(\Delta y/x)^2)\\
\geq \Delta x/x+\Delta y/y+\Delta z/z\)

večji od 0 lahko dokažemo s tem, da velja
\(\Delta x+\Delta y+\Delta z=0\)
Če imamo recimo zaporedje 1 2 10, ali pa 10 2 1 potem velja
\(\Delta x/x+\Delta y/y+\Delta z/z > 0\). To je zato, ker vedno delimo tako, recimo \(\Delta z/z\) ali \(\Delta x/x\), da na koncu dobimo večje število od 0. Torej pri 1 2 10 pozitivno število \(\Delta x\) delimo z \(x=1\), ki je najmanjše število od imenovalcev, negativno in absolutno največje število \(\Delta z\) pa delimo z 10, ki je največje število od imenovalcev. Tako transformiramo zgornjo vsoto 0 v število večje od nič.

Podobno bi lahko ugotovili tudi za 10 2 1. Pri tem 10 2 1 da večjo vrednost, kot 1 2 10.

Podobno velja tudi za linearne člene na levi strani.

Za dokončni dokaz začetne enačbe te naloge, pa bi bilo treba še več dela.

Naloga 2:
Pogledamo kako je s tem, da je vsota enaka tri. Pri tem bi moralo veljati
\(x^2=n_1\pi\)
\(x^2=n_2\pi\)
\(xy=n_3\pi\)
Ter \(n_1\) in \(n_2\) sta sodi števili, \(n_3\) pa je liho število, ali pa obratno.
Vendar pri sodih številih \(n_1\) in \(n_2\) nikoli \((n_1 n_2)^{1/2}\) ni enako lihemu številu, kar je \(n_3\). Velja tudi za obratno opcijo.

Tako je neenakost dokazana.

qg
Posts: 772
Joined: 13.1.2006 20:05

Re: Kdo dokaže naslednji neenakosti

Post by qg » 10.6.2019 17:17

Nadaljevanje naloge 1:
Manjka še reševanje tipa \(x, y, z = 9, 2, 1\).
En skrajni primer od tega je tip spremenljivk \(x, y, z = 9, 1, 1\).
To lahko zapišemo kot:
\(p^2+1+1/p^2\geq 1/p+1+p\).
Sledi
\(p^4+1\geq p+p^3\),
torej
\(p^3(p-1)-(p-1)\geq 0\),
torej, če je \(p\geq 1\) sledi rešitev za začetno enačbo.
Vedno pa lahko dosežemo, da je \(p\geq 1\).

Z vzorcem \(x, y, z = 9, 9, 1\) dobimo popolnoma enako enačbo
\(p^3(p-1)-(p-1)\geq 0\).

Z vzorcem \(x, y, z = 9, 3, 1\) dobimo enačbo
\(p^2+p^2+1/p^4\geq 1/p+1/p+p^2\).
Tudi tukaj se lahko dokaže, da ta neenakost velja. Pri tem je \(p\) seveda enakovreden \(p^{1/2}\) v prejšni enačbi.

Hkrati je pri tem zadnjem vzorcu tudi pomembno, da je to, \(x, y, z = 9, 3, 1\), minimalna neenakost pri vzorcu \(x, y, z = 9, 2, 1\), maksimalni neenakosti pa sta pri \(x, y, z = 9, 1, 1\) in \(x, y, z = 9, 9, 1\).
To se vidi s poskušanjem v Excelu, verjetno pa bi se dalo nekako dokazati.

Vzorce \(x, y, z = 1, 2, 9\) bi se verjetno tudi dalo tako reševati, a se to dokaže že iz zgornje rešitve, ko sem uporabil \(\Delta x, \Delta y, \Delta z\).

Vse pa se da posplošiti na vzorca \(x, y, z = 1, 2, 9\) in \(x, y, z = 9, 2, 1\), kot je že napisano v prejšnem postu.

Post Reply