maksimalna vsota

[fogl]

Mogoče kdo ve, kako bi dokazal, da je vsota verjetnosti \(\rho_i\) v vosti \(\sum\rho_i ln\rho_i\) maksimalna takrat, kadar je \(\rho_i\) za vse člene enak?

[Aniviller]

Isces vezan ekstrem. Maksimum izraza
\(\int \rho\ln\rho dx\)
pri konstantnem
\(\int\rho dx=1\)

[Aniviller]

Prvic, da je resitev konstanta lahko sklepas po tem, da integrand ni odvisen ne od \(\rho'\) ne od x (Lagrangeova funkcija nima dinamike, torej je lahko resitev le konstanta). Lahko pa formalno:
\(L=\rho\ln\rho-\lambda\rho\)
Euler-Lagrangeove enacbe
\(\displaystyle\underbrace{\frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial \rho'}}_0-\frac{\partial L}{\partial \rho}=0\)
\(\frac{\partial L}{\partial \rho}=\ln \rho+1-\lambda=0\)
\(\rho=e^{\lambda-1}=c\)
Multiplikator dolocis iz pogoja
\(\int_a^b \rho dx=1\)
\(c(b-a)=1\)
\(\rho=c=\frac{1}{b-a}\)
ceprav nima prakticnega pomena, izracunajmo se tole:
\(\lambda=1+\ln c\)