periodičen decimalni zapis

[ninagracej]

Dokaži, da ima racionalno število p/q periodičen decimalni zapis.
(Tudi končne decimalne zapise si lahko predstavljamo kot periodične s periodo 0.)

Hvala za pomoč

[Aniviller]

En nacin je ta, da najprej ugotovis, da lahko periodicno decimalno stevilo vedno zapises kot \(\frac{m}{10^u(10^n-1)}\). Potem moras ugotovit da lahko za vsak q najdes naravni stevili u in n, da bo q delitelj imenovalca zgornjega nastavka.

[Zajc]

Gledaš ostanke pri deljenju števil \(10^i\) s \(q\). Množica \(\{10^i,i\in\mathbb{N}\}\) je neskončna, torej obstajata dva različna \(i\ne j\), tako da \(10^i\) in \(10^j\) data enak ostanek pri deljenju s \(q\). To pa pomeni \(q|10^j-10^i=10^i(10^{j-i}-1)\).