Dokaži, da je zaporedje zadnjih štirih števk členov zaporedja 6, 6^2, 6^3, 6^4, . . .
periodično.
Hvala
:/
Re: :/
6 in 10000 imata skupni delitelj 2 (celo veckratni). Tako da ce se ponovi, se ponovi ze prej. Gledamo recimo
\(6^N=1 \mod 5^4\)
To vemo, da ima resitev; vemo celo, da to sigurno velja za \(N=\phi(5^4)\).
Ce velja to, potem velja tudi
\(6^{N+4}=6^4 \mod 10000\)
Torej, od cetrtega clena naprej se sigurno ponavlja. Prve 3 pa niso ok. Se ne ponovijo vec.
\(6^N=1 \mod 5^4\)
To vemo, da ima resitev; vemo celo, da to sigurno velja za \(N=\phi(5^4)\).
Ce velja to, potem velja tudi
\(6^{N+4}=6^4 \mod 10000\)
Torej, od cetrtega clena naprej se sigurno ponavlja. Prve 3 pa niso ok. Se ne ponovijo vec.
Re: :/
Se opravičujem da spet motim ampak mi res ni jasno kaj to vse skupaj pomeni...Aniviller napisal/-a:6 in 10000 imata skupni delitelj 2 (celo veckratni). Tako da ce se ponovi, se ponovi ze prej. Gledamo recimo
\(6^N=1 \mod 5^4\)
To vemo, da ima resitev; vemo celo, da to sigurno velja za \(N=\phi(5^4)\).
Ce velja to, potem velja tudi
\(6^{N+4}=6^4 \mod 10000\)
Torej, od cetrtega clena naprej se sigurno ponavlja. Prve 3 pa niso ok. Se ne ponovijo vec.
Od kod dobimo \(6^N=1 \mod 5^4\),.. no če prav pomislim mi ni nič jasno
Bi slučajno lahko podal podrobnejšo razlago?Re: :/
Eulerjev izrek pravi, da za tuji stevili a in b, velja
\(a^{N}=1\mod b\)
se pravi, da ima neka potenca stevila a ostanek 1 po deljenju z b. Koliko je ta potenca za nas niti ni pomembno (ker ne iscemo koliko je ta perioda). Ena izmed takih potenc je enaka stevilu stevil, ki so manjsa od b in so si z njim tuja.
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_theorem
Pri nas gledamo ostanek potenc stevila 6 po deljenju z 10000 (zadnje 4 cifre). Za ta primer to ne velja, ker imata 6 in 10000 skupni delitelj 2. Lahko pa zapises 10000=5^4*2^4. Za 5^4 vemo, da velja
\(6^N=1\mod 5^4\)
Po drugi strani lahko celo enacbo mnozimo z 2^4 (vkljucno z modulom). To je isto kot trditev, da ce je a=n*b+d (a/b ima ostanek d), potem velja tudi
a*m=n*m*b+d*m ((a*m)/(n*m) ima ostanek d*m). Dobis
\(2^4 6^N=2^4\mod 10000\)
Po drugi strani tudi nic ne spremenimo, ce levo in desno stran mnozimo s 3^4.
\(6^{N+4}=6^4\mod 10000\)
Ta trditev pa pomeni, da imata 6^(N+4) in 6^4 enake zadnje 4 cifre v desetiskem sistemu. Ce enacbo mnozimo z 6^n na obeh straneh vidimo da za vsako potenco vecjo ali enako 4 dobimo cez N potenc spet isto.
Oziroma po osnovnosolsko, 6^(N+4)=nekaj*10000+6^4, zato je tudi 6^(N+n+4)=(nekaj drugega)*10000+6^(n+4).
Za manj kot 6^4 pa tega ne moremo trdit: delit ne smemo s 6, ker ni nujno da je prvi clen na desni deljiv s 6.
\(a^{N}=1\mod b\)
se pravi, da ima neka potenca stevila a ostanek 1 po deljenju z b. Koliko je ta potenca za nas niti ni pomembno (ker ne iscemo koliko je ta perioda). Ena izmed takih potenc je enaka stevilu stevil, ki so manjsa od b in so si z njim tuja.
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_theorem
Pri nas gledamo ostanek potenc stevila 6 po deljenju z 10000 (zadnje 4 cifre). Za ta primer to ne velja, ker imata 6 in 10000 skupni delitelj 2. Lahko pa zapises 10000=5^4*2^4. Za 5^4 vemo, da velja
\(6^N=1\mod 5^4\)
Po drugi strani lahko celo enacbo mnozimo z 2^4 (vkljucno z modulom). To je isto kot trditev, da ce je a=n*b+d (a/b ima ostanek d), potem velja tudi
a*m=n*m*b+d*m ((a*m)/(n*m) ima ostanek d*m). Dobis
\(2^4 6^N=2^4\mod 10000\)
Po drugi strani tudi nic ne spremenimo, ce levo in desno stran mnozimo s 3^4.
\(6^{N+4}=6^4\mod 10000\)
Ta trditev pa pomeni, da imata 6^(N+4) in 6^4 enake zadnje 4 cifre v desetiskem sistemu. Ce enacbo mnozimo z 6^n na obeh straneh vidimo da za vsako potenco vecjo ali enako 4 dobimo cez N potenc spet isto.
Oziroma po osnovnosolsko, 6^(N+4)=nekaj*10000+6^4, zato je tudi 6^(N+n+4)=(nekaj drugega)*10000+6^(n+4).
Za manj kot 6^4 pa tega ne moremo trdit: delit ne smemo s 6, ker ni nujno da je prvi clen na desni deljiv s 6.
Upam da ti ni vzelo preveč časa, lep dan pa še enkrat hvala.