}
Objavljeno: 22.12.2006 14:48
Po definiciji je kartezicni produkt mnozic A in B (pisemo: AxB) mnozica vseh urejenih parov (a,b) kjer je \(a\in A\) in \(b\in B\) (poudarek je na vseh moznih takih parih).
Recimo kartezicni produkt mnozice H={1,2,3} in K={7,8} bi bil mnozica HxK={(1,7), (1,8), (2,7), (2,8), (3,7), (3,8)}. Lahko bi pogledali tudi kartezicni produkt mnozice H same s seboj, to bi blo HxH={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}. No ocitno je res, da je moc mnozice HxH (devet elementov) vecja kot moc mnozice H (tri elemente). Ampak pri neskoncnih mnozicah pa to ni vedno res, js sem dal primer \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\). Graficno si to lahko predstavlamo kokr koordinate v I. kvadrantu ravnine (desno zgoraj) ampak samo cela stevila, tko nekak (ne vem kok lepo mi bo to uspel prikazat):
No ampak ocitno je to ekvipolentno mnozici pozitivnih racionalnih stevil (namesto "koordinate" (a,b) si mislimo kar ulomek a/b). Vemo pa tudi da je mnozica pozitivnih racionalnih stevil ekvipolentna naravnim (konstrukcijo je pokazal Aniviller na prejsnji strani) in ker je relacija ekvipolence tudi tranzitivna lahko sklepamo da je mnozica NxN ekvipolentna N, s simboli je mogoce bolj razvidno:
Vemo: \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\sim}\mathbb{Q}_+\) in \(\mathbb{Q}_+ \sim \mathbb{N}\)
\(\Rightarrow\)
\(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\sim\mathbb{N}\)
No v tem primeru torej kartezicni produkt mnozice same s seboj nima vecje moci kot ta mnozica sama. Kaksno vezo ima zdaj to s kompleksnimi?.. Ja ima, zato ker kompleksna stevila si lahko mislimo kot urejene pare kartezicnega produkta \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) (oz. bolje: ti dve mnozici imata enako moc). Zdaj pa vprasanje ali je moc RxR res vecja od R je relevantno, sam namrec mislim da bi se dalo skronstruirati bijektivno preslikavo, samo tkole na prvi pogled je pa ne vidim.
edit: aha sej med tem ko sm pisu je ze shrink dal povezavo, da imata enako moc
Recimo kartezicni produkt mnozice H={1,2,3} in K={7,8} bi bil mnozica HxK={(1,7), (1,8), (2,7), (2,8), (3,7), (3,8)}. Lahko bi pogledali tudi kartezicni produkt mnozice H same s seboj, to bi blo HxH={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}. No ocitno je res, da je moc mnozice HxH (devet elementov) vecja kot moc mnozice H (tri elemente). Ampak pri neskoncnih mnozicah pa to ni vedno res, js sem dal primer \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\). Graficno si to lahko predstavlamo kokr koordinate v I. kvadrantu ravnine (desno zgoraj) ampak samo cela stevila, tko nekak (ne vem kok lepo mi bo to uspel prikazat):
Koda: Izberi vse
...
(1,5) ...
(1,4) (2,4) ...
(1,3) (2,3) (3,3) ...
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) ...
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) ... (itd)
Vemo: \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\sim}\mathbb{Q}_+\) in \(\mathbb{Q}_+ \sim \mathbb{N}\)
\(\Rightarrow\)
\(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\sim\mathbb{N}\)
No v tem primeru torej kartezicni produkt mnozice same s seboj nima vecje moci kot ta mnozica sama. Kaksno vezo ima zdaj to s kompleksnimi?.. Ja ima, zato ker kompleksna stevila si lahko mislimo kot urejene pare kartezicnega produkta \(\mathbb{R}\times\mathbb{R}\) (oz. bolje: ti dve mnozici imata enako moc). Zdaj pa vprasanje ali je moc RxR res vecja od R je relevantno, sam namrec mislim da bi se dalo skronstruirati bijektivno preslikavo, samo tkole na prvi pogled je pa ne vidim.
edit: aha sej med tem ko sm pisu je ze shrink dal povezavo, da imata enako moc
