Vektorski prostori
Re: Vektorski prostori
Vzela sem polinom stopnje 5 in dobila bazo:{(-x^5+x^3),(x^2),(-x^5+x),(-x^4+1)} Sedaj pa samo dodam x^6,x^7 itd ?
Re: Vektorski prostori
No, manjkata ti se dva od nizjih (tehle ni 6). In ker imas smesno bazo z vec polinomi iste stopnje moras malo pazit. Ni pa hudo. Vidis recimo, da polinoma 1 ne mores sestavit iz teh 4h tako da je lahko 1 dodaten bazni vektor. Prav tako velja za polinom x.
Re: Vektorski prostori
Ok zdaj pa nič več ne razumem.Kako pa dobim drugačno bazo?
Re: Vektorski prostori
Ja pomesas jih lahko. Recimo namesto -x^5+x^3 in -x^5+x lahko vzames kaksno linearno kombinacijo, recimo vsoto in razliko
-2x^5+x^3+x in
x^3-x
(ali kakrsno koli drugo linearno kombinacijo, samo da so neodvisni). Vedno kadar imas dva neodvisna polinoma iste stopnje lahko skombiniras tako da dobis enega iste stopnje in enega nizje.
-2x^5+x^3+x in
x^3-x
(ali kakrsno koli drugo linearno kombinacijo, samo da so neodvisni). Vedno kadar imas dva neodvisna polinoma iste stopnje lahko skombiniras tako da dobis enega iste stopnje in enega nizje.
Re: Vektorski prostori
Še vedno ne razumem kako potem dopolniš bazo U do R_n[x]. Ah ja saj bom že ugotovila.
Hvala za odgovore.
Hvala za odgovore.
Re: Vektorski prostori
Pocistis obstojeco bazo da ima vse razlicne stopnje, potem pa "zapolnis" vse luknje do "n", kakrsenkoli ze je. To lahko naredis na nesteto nacinov (edini pogoj je da so linearno neodvisni, lahko si izmisljujes kar si hoces).
Re: Vektorski prostori
Aha zdaj pa razumem.Samo problem je v tem, da ta n ni podan. Gre pač v neskončnost
Re: Vektorski prostori
Nic hudega ce ni podan, saj itak govorimo teoreticno.
Re: Vektorski prostori
Še ena iz vektorskih prostorov.
Enako dolga neničelna vektorja \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \in \mathbb{R} ^n\) oklepata kot 120°. Prepričaj se, da rešitve vektorske enačbe \((\overrightarrow{a}\overrightarrow{x})\overrightarrow{a}}+2\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x} \times \overrightarrow{a}\) tvorijo vektorski prostor ter določi njegovo razsežnost in kako njegovo bazo.
Rešitev enačbe dobim \(\overrightarrow{x} = \alpha \overrightarrow{a} + \beta \overrightarrow{b}\).
Enako dolga neničelna vektorja \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \in \mathbb{R} ^n\) oklepata kot 120°. Prepričaj se, da rešitve vektorske enačbe \((\overrightarrow{a}\overrightarrow{x})\overrightarrow{a}}+2\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x} \times \overrightarrow{a}\) tvorijo vektorski prostor ter določi njegovo razsežnost in kako njegovo bazo.
Rešitev enačbe dobim \(\overrightarrow{x} = \alpha \overrightarrow{a} + \beta \overrightarrow{b}\).
Re: Vektorski prostori
No, vektorski produkt je definiran samo v 3D, tako da ne bo slo na splosno v R^n, ampak samo za n=3. Potem pa lahko nastavis kar
\(x=\alpha \vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma \vec{a}\times\vec{b}\)
Vstavis:
\((\alpha|a|^2+\beta (ab))\vec{a}+2(\alpha\vec{b}\times \vec{a}+\gamma(\vec{a}|b|^2-\vec{b}(ab))\)\(=\beta\vec{b}\times\vec{a}+\gamma(\vec{b}|a|^2-\vec{a}(ab))\)
Zdaj lahko primerjas po komponentah. Komponenta pri \(\vec{a}\(:
\(\alpha |a|^2+\beta(ab)+2\gamma |b|^2=-\gamma (ab)\)
Komponenta pri \(\vec{b}\):
\(-2\gamma (ab)=\gamma |a|^2\)
Uporabis se podatek o kotu, \((ab)=|a||b|\cos 120^\circ=-|a||b|/2\) in podatek, da sta enako dolga - tako vidis, da je ta enacba vedno izpolnjena. V vseh ostalih primerih izbire a in b, bi morala biti gama=0. Tako pa ta enacba ne pove nicesar.
Komponenta pred \(\vec{b}\times\vec{a}\):
\(2\alpha=\beta\)
Ta enacba je zelo jasna, prvo moras se predelat s podatkom o (ab) in dobis dve enacbi za tri neznanke. Tako lahko vse izrazis z 1 neznanko, in dobis vektorski prostor resitev.
Preveri ce nisem naredil kaksne neumnosti.\)\)
\(x=\alpha \vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma \vec{a}\times\vec{b}\)
Vstavis:
\((\alpha|a|^2+\beta (ab))\vec{a}+2(\alpha\vec{b}\times \vec{a}+\gamma(\vec{a}|b|^2-\vec{b}(ab))\)\(=\beta\vec{b}\times\vec{a}+\gamma(\vec{b}|a|^2-\vec{a}(ab))\)
Zdaj lahko primerjas po komponentah. Komponenta pri \(\vec{a}\(:
\(\alpha |a|^2+\beta(ab)+2\gamma |b|^2=-\gamma (ab)\)
Komponenta pri \(\vec{b}\):
\(-2\gamma (ab)=\gamma |a|^2\)
Uporabis se podatek o kotu, \((ab)=|a||b|\cos 120^\circ=-|a||b|/2\) in podatek, da sta enako dolga - tako vidis, da je ta enacba vedno izpolnjena. V vseh ostalih primerih izbire a in b, bi morala biti gama=0. Tako pa ta enacba ne pove nicesar.
Komponenta pred \(\vec{b}\times\vec{a}\):
\(2\alpha=\beta\)
Ta enacba je zelo jasna, prvo moras se predelat s podatkom o (ab) in dobis dve enacbi za tri neznanke. Tako lahko vse izrazis z 1 neznanko, in dobis vektorski prostor resitev.
Preveri ce nisem naredil kaksne neumnosti.\)\)
Re: Vektorski prostori
Hvala, tako rešitev sem dobil pa sem jo očitno narobe prepisal. Koliko pa je razsežnost in kaj je primer baze?
Re: Vektorski prostori
No, razseznost je stevilo prostih konstant v koncnem izrazu, baza je pa tisto kar stoji zraven vsake posamicne konstante. Recimo, ce dobis \(\alpha(2a+b)+\beta (b+ a\times b)\)
bi imel dvorazsezni prostor z bazo (2a+b) in (b+a x b). Jasno lahko bazo menjas (vzames kaksno drugo linearno kombinacijo prejsnje baze). To seveda nima veze z nalogo ampak je samo izmisljen primer.
bi imel dvorazsezni prostor z bazo (2a+b) in (b+a x b). Jasno lahko bazo menjas (vzames kaksno drugo linearno kombinacijo prejsnje baze). To seveda nima veze z nalogo ampak je samo izmisljen primer.
Re: Vektorski prostori
Torej je razsežnost 1(je samo ena prosta konstanta, ker se alfa izraža z beto: \(\overrightarrow{x}= \alpha (\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\), baza pa je \(\overrightarrow{a}+ 2 \overrightarrow{b}\) ?... verjetno je potrebno napisati kakšno konkretno bazo(npr:(1,2))......drugo vprašanje...kako preverimo, da je množica rešitev vektorski prostor?
Re: Vektorski prostori
Tako ja. In a+2b je cisto konkretna baza.
No saj vidis, da je vektorski prostor. Gre za linearno ogrinjaco enega vektorja. Linearnost je zagotovljena, ker imas vektorje, niclo itak vkljucuje, zaprtost je pa tudi zagotovljena, ker se pri sestevanju enostavno sestevajo konstante pred baznimi vektorji.
No saj vidis, da je vektorski prostor. Gre za linearno ogrinjaco enega vektorja. Linearnost je zagotovljena, ker imas vektorje, niclo itak vkljucuje, zaprtost je pa tudi zagotovljena, ker se pri sestevanju enostavno sestevajo konstante pred baznimi vektorji.