Kvarkadabra forum

Ker sem Noob v matematiki, bi vse tukajšnje znalce lepo prosil za pomoč pri odvajanju naslednje funkcije:

y=1-e^-kx

rešitev mora biti: y'=ke^-kt

Do 2. ure zjutraj sem sedel in študiral, a mi še zmeraj ni jasno? Se priporočam za namige. Hvala v naprej.

y=1-e^-kx //odvod razlike (vsote)
y'=1'-(e^-kx)' //odvod konstante (1) je nic, odvod eksponentne funkcije je eksponentna funkcija.
y'=0-e^-kx*(-kx)' //ker v eksponentu ni bil samo x ampak nekaj drugega, je treba po veriznem pravilu prejsnji rezultat pomnozit z odvodom notranje spremenjlivke
y'=-e^-kx*(-k) //to upam da je jasno...
y'=k*e^-kx

Splosno: ce vidis y=f(g(x)) pri cemer sta f in g poljubni funkciji, torej kot g(x) je lahko kar -kx kot v zgornjem primeru, f(t) je pa v zgornjem primeru e^t, v t moras jasno vstavit g(x), ker imas kompozitum funkcij.
Torej f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x), torej funkcijo odvajas od zunaj navznoter.

Najprej hvala za hiter odgovor; upam, da še z enim vprašanjem ne bom preveč zamoril:

če odvajamo funkcijo sin(3x^2+x), po verižnem pravilu zmnožimo po vrsti (1) odvod zunanje funkcije, (2) notranjo funkcijo ter (3) odvod notranje funkcije in dobimo cos(3x^2+x)(6x+1)

Zakaj potem pri eksponentni pomnožimo samo odvod eksponenta in odvod e^e. Gre morda za kakšno posebno varianto verižnega pravila?

Vem, da sprašujem kozle, ampak rabim par dni, da pridem notri...

castro napisal/-a:Najprej hvala za hiter odgovor; upam, da še z enim vprašanjem ne bom preveč zamoril:

če odvajamo funkcijo sin(3x^2+x), po verižnem pravilu zmnožimo po vrsti (1) odvod zunanje funkcije, (2) notranjo funkcijo ter (3) odvod notranje funkcije in dobimo cos(3x^2+x)(6x+1)

V bistvu zmnožimo odvod zunanje funkcije, ki ima za argument notranjo funkcijo - torej: f'(g(x)), z odvodom notranje funkcije - torej: g'(x).

Iz tega torej sledi (kot je že navedel Aniviler), da je odvod kompozituma

f(g(x))

enak

f'(g(x))*g'(x)

Zakaj potem pri eksponentni pomnožimo samo odvod eksponenta in odvod e^e. Gre morda za kakšno posebno varianto verižnega pravila?

Vem, da sprašujem kozle, ampak rabim par dni, da pridem notri...

V tem primeru je kompozitum f(g(x)) = e^(g(x)) oz.

f(x) = e^x in g(x)=g(x).

Ker je f'(x) = e^x, iz pravila za odvajanje kompozituma sledi, da je odvod enak:

e^(g(x))*g'(x).

castro napisal/-a:Zakaj potem pri eksponentni pomnožimo samo odvod eksponenta in odvod e^e. Gre morda za kakšno posebno varianto verižnega pravila?

Vem, da sprašujem kozle, ampak rabim par dni, da pridem notri...

Ce te moti da je argument v eksponentu si smatraj e^x kot Exp(x)
Tvoja naloga se tako napise y=1-Exp(-kx)
torej y=-Exp(-kx)*(-kx)'=k*Exp(-kx)
Ce te pa ovira to da se Exp pri odvodu ne spremeni pa: Exp(x) je edina funkcija katere odvod je ista funkcija (resitev diferencialne enacbe y'=y;y'/y=1;ln(y)=x+c;y=C*Exp(x))

Še eno vprašanje, da ne odpiram nove teme:

kako naj zdaj dokažem, da odvod zgornje funkcije y=1-e^-kx integrira k 1.
Hvala za sugestije...

castro napisal/-a:Še eno vprašanje, da ne odpiram nove teme:

kako naj zdaj dokažem, da odvod zgornje funkcije y=1-e^-kx integrira k 1.
Hvala za sugestije...

Po vsej verjetnosti si slabo formuliral vprašanje...

V to da sem slabo formuliral vprašanje ne dvomim. Mogoče pomaga še podatek na intervalu od 0 do neskončno.

Integral funckije 1-e^-kx na intervalu (0,oo) ni definiran. Integral njenega odvoda f'(x)=k e^-kx pa je zelo enostaven:

int(f dx)=
int(k e^-kx dx)=
k int(e^-kx dx)=
k int(((-1/k)e^u ) du)= //Spremenljivka u=-kx
- int(e^u du)=
-e^u=-e^-kx+C //Dokazali smo da ni treba integrirat; seveda je integral odvoda enak prvotni funkciji.

Torej
-e^-kx |0, oo=-e^-k(oo)-(-e^-k0) (oo je neskoncno)
Ker vemo da gre e^-x proti nic ce gre x proti neskoncno lahko postavimo resitev e^0=1

Seveda moramo privzeti da je k pozitiven drugace integral nima veliko smisla

Hmmm, ja: Edina stvar, ki konvergira k 1, je sama funkcija 1-e^(-kx), ko gre x preko vseh meja; seveda če je k konstanta. Torej: njena limita v neskončnosti je enaka 1.

Da bi pa nekaj "integriralo" k nečemu pa še nisem slišal. Kvečjemu je konvergira ali divergira določeni integral.

shrink: bom še enkrat preveril, ampak sem dal knjigo nazaj naši matematkarci.

Tukaj imam še en odvod http://www2.arnes.si/~akastr1/odvod.pdf in me zanima če sam ga prav izpeljal

(-((x^b)/a))'=
Alfa=a;Beta=b. Tukaj imaš a in b konstanti.
Konstanto vržeš ven iz odvoda.

=(-1/a)*(x^b)'=

Odvajaš samo (x^b)' po pravilu za odvajanje potenc:

=(-1/a)*b*x^(b-1)=
=(-b/a)*x^(b-1)

(-((x^b)/a))' ni enako (-(x/a)^b)'

castro napisal/-a:(-((x^b)/a))' ni enako (-(x/a)^b)'

Tega nihce ne trdi. Saj lahko kot konstanto izpostavis kar -1/a^b, mar ne?

Zdaj mi je jasno. V svoji rešitvi sem pač ubral daljšoooo pot. Hvala!!!