Fourierjeva transformacija

[vid]

A mi lohka ker tole pove:
ce drzi, da je F{y(t)}=Y(k) pri fourierjevi transformaciji, kaj je potem:
F{y(t)^4}=?; kjer je y(t)^4 celotna funkcija y(t) na cetrto potenco.
hvala

[Rok Osolnik]

Definicija Fouirier-ove transformiranke:

\(F(w)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{iwt}f(t)dt\)

Namesto f(t) pišeš tvojo funkcijo in izračunaš integral.

Pri tebi je funkcija \(g(t)=f(t)^4\), dalje pišeš:
F(w)=int[-inf,inf][((e^iwt)g(t)dt] in izračunaš integral.

[shrink]

Definicija Fouirier-ove transformiranke:

F(w)=int[-inf,inf][((e^iwt)f(t)dt]

int[-inf,inf] ... integral od -neskončno do neskončno.
Namesto f(t) pišeš tvojo funkcijo in izračunaš integral.

Pri tebi je funkcija g(t)=f(t)^4, dalje pišeš:
F(w)=int[-inf,inf][((e^iwt)g(t)dt] in izračunaš integral.

Vse lepo in prav, vendar so ti izlimitirani integrali (povrh tega še funkcij kompleksne spremenljivke) vse drugo prej, kot lahek zalogaj. Ravno zaradi zadnjega obstajajo tabele transformirank, ki olajšajo računanje.

V zvezi s tem problemom zadeva ni direktno izračunljiva, saj je funkcija poljubna, znan pa je podatek, da obstaja njena transformiranka. Transformiranko te funkcije na četrto potenco pa je očitno potrebno izraziti s transformiranko funkcije, ki ni potencirana. Kako to izvesti, pa na prvi pogled ne bi vedel.

Morda bi šlo s per partes, ali pa z upoštevanjem lastnosti transformirank, da produktu originalov ustreza konvolucija transformirank...

[vid]

ne vem kaj nej bi mi tist zgori pomagal. jst sm pol tkole tole reku (sam nisem niti 20 posto preprican da je prav):

ce: F{y(t)}=Y(k)
kaj: F{y(t)^4} = ?
kaj vem: g(t) = y(t)^4 => torej g'''(t) = 4! * y(t)

vem pa tud: F{g'''(t)} = (i*k)^3 * F{g(t)} = F{y(t)^4} * (i*k)^3;
velja pa tudi: F{g'''(t)} = 4! * Y(k)

torej:
=> 4! Y(k) = F{y(t)^4} * (i*k)^3;

in
F{y(t)^4} = (4!/(i*k)^3) * Y(k)

lp

[shrink]

Že 1. korak:

kaj vem: g(t) = y(t)^4 => torej g'''(t) = 4! * y(t)

je napačen.

Namreč:

g(t) = y(t)^4 => g'(t) = 4*(y(t))^3*y'(t)

=> g''(t) = 4*3*(y(t))^2*y'(t)*y'(t) + 4*(y(t))^3*y''(t)

=> itd.

Zadeva ni tako enostavna.

[vid]

no ampak vseen ce mas

Pri tebi je funkcija g(t)=f(t)^4, dalje pišeš:
F(w)=int[-inf,inf][((e^iwt)g(t)dt] in izračunaš integral.

ti to nc ne pomaga ce je f(t) iskana funkcija v diferencialnoi encabi:

f'(t) + a*(f(t))^4 = b*g(t); kjer poznas g(t) in isces f(t).

[shrink]

no ampak vseen ce mas

Pri tebi je funkcija g(t)=f(t)^4, dalje pišeš:
F(w)=int[-inf,inf][((e^iwt)g(t)dt] in izračunaš integral.

ti to nc ne pomaga ce je f(t) iskana funkcija v diferencialnoi encabi:

f'(t) + a*(f(t))^4 = b*g(t); kjer poznas g(t) in isces f(t).

Fourierova in Laplaceova transformacija se uporabljata pri reševanju navadnih linearnih diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti. Na ta način se diferencialne enačbe pretvorijo v algebrajske.

Gornja diferencialna enačba je nelinearna diferencialna enačba prvega reda in sicer Chinijevega tipa:

y'(x)=f(x)*(y(x))^n-g(x)*y(x)+h(x)

za katero zaenkrat še ni splošne rešitve (za poljuben n).

Najbolje je nelinearno d.e. pretvoriti (če se to da) v linearno obliko in šele nato izvesti transformacije.

[qg]

Našel sem poenostavitev izračuna Hawkingovega, Unruhovega sevanja.

http://arxiv.org/PS_cache/quant-ph/pdf/0401/0401170.pdf

Od enačbe 7 do 9 uporabi fourierjev integral. Vprašanja:
1. Ali se to da ponoviti v Mathematici.
2. Kaj se dogaja, ko osnovno vhodno funkcijo
fi= omega kc/a exp(a t/c), ko jo nekoliko spreminjamo, tako, da le povprečje ostaja isto. Ali na koncu še dobimo termično sevanje.

Ali kdo ve, ali so kje reference na to temo.