Koliko je nič na nič?

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Koliko je nič na nič?

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Koliko je \(0^{0}\)?
Ena ali nič? Mislim, da je 0.

JAN
Prispevkov: 65
Pridružen: 2.7.2004 18:03

Odgovor Napisal/-a JAN »

seveda saj je 0log0 enak 0 :D
Zadnjič spremenil JAN, dne 11.12.2005 18:46, skupaj popravljeno 2 krat.

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

\(\log 0\) ni definiran

JAN
Prispevkov: 65
Pridružen: 2.7.2004 18:03

Odgovor Napisal/-a JAN »

eh glih sm hotu popravt pa si me prehitu, res je nedifiniran pri 0 sam nič krat neskončno je pač nič saj se log pri približevanju nič približuje neskončnosti

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Ja zdi se res nekako tako z logaritmom. Iskal sem pravzaprav malo bolj matematično pojasnitev iz teorije števil.

Maedhros
Prispevkov: 162
Pridružen: 16.1.2004 23:57

Odgovor Napisal/-a Maedhros »

Malo sem že lesen v tej matematki, tako da kar malo dvomim, da je tole pravilno razmišljanje, pa bom vseeno poskusil...

a^n, kjer sta tako a kot n naravni števili, je definiran kot a*a*...*a, n-krat. Med vsemi temi a-ji si lahko mislimo tudi enke (torej a*1*a*1*...), ker je to pač enota za množenje v tej algebrski strukturi.

Če torej vzamemo a^0, nam ob odvzetju vseh a-jev iz zgornjega produkta ostane le enota za množenje, torej 1.

Precej po domače tole, ja, se strinjam. Upam da me bo kdo popravil... :)

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14591
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Koliko je nič na nič?

Odgovor Napisal/-a shrink »

ZdravaPamet napisal/-a:Koliko je \(0^{0}\)?
Ena ali nič? Mislim, da je 0.
Izrazi tipa \(0^{0}\) spadajo med t.i. nedoločene izraze. To so v bistvu limite, ki lahko obstajajo ali pa ne.

Nedoločenosti tipa \(0^{0}\), \(\infty^{0}\) in \(1^{\infty}\)

se rešujejo na sledeč način:

Če je \(f(x)&=&g(x)^{h(x)}\) ter \(\lim_{x \to a} g(x)&=&0\) in \(\lim_{x \to a} h(x)&=&0\), poiščemo

najprej limito \(A\) izraza

\(ln(f(x))&=&h(x)ln(g(x))\),

ki ima obliko \(0\texttt{*}\infty\), nato pa jo potenciramo, torej izračunamo \(e^{A}\).

Vsaka limita

\(\lim_{x \to a} f(x)\)

je torej nedoločeni zraz tipa \(0^{0}\).

Sledi, da zgolj v primeru, ko je \(A&=&0\), je \(\lim_{x \to a} f(x)&=&1\).

Iz navedenega je jasno, da ne moremo a priori trditi

\(0^{0}&=&1\).

Pa sem še to spravil v TeX obliko. 8)
Zadnjič spremenil shrink, dne 3.1.2008 18:50, skupaj popravljeno 7 krat.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

V posebnem primeru ko za obe nicli postavis isti izraz pa dobis
\(\lim_{x \to 0} x^x&=&1\)

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14591
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Odgovor Napisal/-a shrink »

Aniviller napisal/-a:V posebnem primeru ko za obe nicli postavis isti izraz pa dobis
\(\lim_{x \to 0} x^x&=&1\)
Natanko tako. Če še ponudim dokaz za gornjo trditev za najbolj splošen primer (tako da bo tudi drugim jasno, kaj misliva):

Želimo pokazati

\(\lim_{x \to a} f(x)^{f(x)}&=&1\),

če vemo, da velja \(\lim_{x \to a} f(x)&=&0\).

Dokaz:

\(\lim_{x \to a} f(x)^{f(x)}&=&\lim_{x \to a} e^{f(x)ln(f(x))}&=&\lim_{x \to a} e^{\frac {ln(f(x))}{\frac {1}{f(x)}}}\)

Vidimo, da gre v eskponentu za nedoločenost tipa \(\frac {\infty}{\infty}\), tako da lahko uporabimo L' Hospitalovo pravilo in na ta način dobimo:

\(\lim_{x \to a} e^{\frac {\frac {1}{f(x)}f'(x)}{-\frac {1}{(f(x))^2}f'(x)}}\)

oz.

v okrajšani obliki:

\(\lim_{x \to a} e^{-f(x)}&=&e^{-\lim_{x \to a} f(x)}&=&\frac {1}{e^0}&=&1\).

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Se pravi, funkcija \(x^{x}\) pri \(x=0\) ni definirana, obstaja pa limita, in je 1. Nič na nič je potlej nedoločen izraz, podobno kot 1/0. Samo, kaj pa z leve, tam se funkcija nekako čudno obnaša. Pri recimo \(x=-2\) ni definirana, pri \(x=-3\) pa je.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Imas prav. 1 je desna limita zgornjega izraza. Mislim pa da lahko v negativnem postavis \(-x^{-x}&=&e^{-x \ln{(-x)}}&=&e^{-x( \ln{|x|}+i (\pi+2 k\pi))}&=&e^{i x(\pi+2 k \pi)}\frac{1}{|x|^x}\)
Ker limita desnega ulomka obstaja in je 1, lahko limitiras kot produkt
\(\lim_{x \to 0} e^{i x(\pi+2 k \pi)} \frac{1}{|x|^x} &=& [ \lim_{x \to 0}e^{i x(\pi+2 k \pi)} ] [ \lim_{x \to 0} \frac{1}{|x|^x} ]\)\(&=& \lim_{x \to 0} e^{i x(\pi+2 k \pi)} &=& e^0 &=& 1\)
Ker shrinkova izpeljava nicesar ne rece o pozitivnosti x-a, lahko ze od tam sklepas da velja za limitiranje iz vseh smeri.
p.s. teksta je veliko, lahko da sem se zmotil... :roll:

smolejleo
Prispevkov: 1702
Pridružen: 3.3.2004 11:52
Kraj: celovec
Kontakt:

Živel je kmet, imel je psa

Odgovor Napisal/-a smolejleo »

Vse tole me spominja na debato koliko je 0/0 - torej ne mešajmo med 0, neskončno, 1 in nedefinirano. Obstajajo pač reči, ki jih 1)še ni in 2)ni mogoče razložiti ali doumeti. Tako vsaj imamo vedno eno kost, ki jo lahko glodamo - super.
smolejleo

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Ne vem, če je kaj za doumeti. Mislim, da se gre le za definicijo ali dogovor. Podobno kot podamo karakteristične lastnosti realnih števil preko aksiomov in jih tako definiramo; recimo deljenje z nič v teh aksimoh ni definirano, je treba povedati, kaj je (ali kaj ni) nič na nič. Shrink in Aniviller sta lepo povzela, kako bi narisal funkcijo \(x^{x}\), tako, da sta uporabila limite; čisto stroga in zdrava matemtična zadeva, njena lepota, ki se v tem primeru pokaže je ta, da funkcija niti ni treba, da je definirana v točki 0, ima pa vseeno limito. Resnično ne vidim v tem nobene mističnosti.

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14591
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Re: Živel je kmet, imel je psa

Odgovor Napisal/-a shrink »

smolejleo napisal/-a:Vse tole me spominja na debato koliko je 0/0 - torej ne mešajmo med 0, neskončno, 1 in nedefinirano.
Pretiravaš. V analizi (veji matematike) so izrazi tipa 0/0, 0^0 in podobni definirani kot nedoločeni izrazi. Kot sem že v prejšnjih postih povedal, so to limite, ki lahko imajo končno vrednost ali pa ne.

Zato izjave
Obstajajo pač reči, ki jih 1)še ni in 2)ni mogoče razložiti ali doumeti. Tako vsaj imamo vedno eno kost, ki jo lahko glodamo - super.
za matematiko nimajo pomena. Matematika namreč sloni na definicijah in aksiomih. Če ti je navedeno tuje, potem pač o tem nimaš pravice soditi.

smolejleo
Prispevkov: 1702
Pridružen: 3.3.2004 11:52
Kraj: celovec
Kontakt:

Odgovor Napisal/-a smolejleo »

Super; pravim da me debata koliko je 0^0, spominja na debato, koliko je 0/0 in to se nekaterim ne zdi prav, v isti sapi pa pravijo da sta oba nedoločena izraza. Obenem jaz ne bi smel soditi ali celo imeti mnenja o tem, vi pa pišete kar postualte, kakšne vrednosti imajo z aksiomi nedefenirane vrednosti. In ker je vse tako defenirano in ni potrebno nič doumeti, potem se tudi funkcija ali tista limita z leve ne more obnašati čudno, kakor piše tam zgoraj, ker je čudno zelo oseben izraz, uporabiš ga pa ponavadi takrat, ko te nekaj preseneti, torej prej nisi vedel da je tisto tako kot je, čeprav je vse na dlani, ker vse sledi iz defenicij in aksiomov. Res sta pozno spoznala, kako se obnaša tista funkcija tam z leve, če je bilo njeno obnašanje tako čudno - in ker imata matematiko za tako neosebno stvar, se tudi funkcija ne more obnašati, saj je to spet beseda, skoraj rezervirana za nekaj, kar ima svojo voljo - le takrat lahko govorimo o tem, kako se "obnaša". Res postulirani umi, kar tako naprej.

Odgovori