Koliko je nič na nič?

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
Tommo
Prispevkov: 109
Pridružen: 24.8.2007 14:06

Odgovor Napisal/-a Tommo »

Maedhros napisal/-a:Malo sem že lesen v tej matematki, tako da kar malo dvomim, da je tole pravilno razmišljanje, pa bom vseeno poskusil...

a^n, kjer sta tako a kot n naravni števili, je definiran kot a*a*...*a, n-krat. Med vsemi temi a-ji si lahko mislimo tudi enke (torej a*1*a*1*...), ker je to pač enota za množenje v tej algebrski strukturi.

Če torej vzamemo a^0, nam ob odvzetju vseh a-jev iz zgornjega produkta ostane le enota za množenje, torej 1.

Precej po domače tole, ja, se strinjam. Upam da me bo kdo popravil... :)
Tale "dokaz" je povsem pravilen in zato je \(0^0\) težko karkoli drugega kot \(1\).

Kar se pa tiče limit na konkretnem primeru: za \(sin(x)/x\) velja, da je njeno definicijsko območje \(\mathbf{R}\setminus \lbrace 0 \rbrace\) in tega ne more spremeniti nobena limita. Lahko pa z dogovorom oziroma definicijo, da je v točki \(0\) vrednost funkcije enaka \(1\) (vrednost ponavadi določamo kot povprečje leve in desne limite - če obstajata), njeno definicijsko območje razširimo na celotno realno os in zraven še zagotovimo zveznost. Podoben razmislek lahko uporabimo tudi pri funkciji \(\frac{x}_{x}\) in podobnih.

Za konec pa v razmislek še o vsoti vrste: \(1 + 0 + 0 + 0 + ... =1\). Če to drži in verjetno se vsi strinjamo, da drugače ne more biti, potem lahko pišemo tudi:
\(1 + \sum_{1}^{\infty}0=1+\infty\cdot 0 = 1\)
in tako "dokažemo" še, da je \(\infty\cdot 0 = 0\).

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14591
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Odgovor Napisal/-a shrink »

Tommo, brez zamere, ampak tudi ti zgolj posplošuješ.

Tisti prvi "dokaz" dokazuje, da je \(0^0=1\) zgolj v tem posebnem primeru. Sam sem npr. ponudil dokaz za bolj splošen primer in sicer za izraze tipa \(f(x)^{f(x)}\) (glej moj prejšnji post, v katerem sem to spet omenil), ampak iz tega "dokaza" mi še ne pamet ne pride, da bi to posploševal na najbolj splošen primer \(f(x)^{g(x)}\). Indukcija je sicer čisto lep (matematični) prijem, ampak v tem primeru visi v zraku.

Tvoj drugi "dokaz", v katerem si "dokazoval", da je \(\infty \cdot 0 = 0\) pa je spet zgolj poseben primer, iz katerega ne moremo potegniti splošnih sklepov. Sicer pa se mi zdi tak zapis "grd", korak iz

\(\sum_1^{n}a = na\)

na

\(\lim_{n \to \infty} \sum_1^{n}a = \lim_{n \to \infty} na = \infty \cdot a\)

pa matematično "onegavljanje".

Vse skupaj me zelo spominja na prizadevanja sholastičnih filozofov, da bi matematično utemeljili obstoj Boga. Šteli so: ena manj ena je nič, plus ena je ena, manj ena je nič itd. Torej:

\(s = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \ldots =\)
\(0 + 0 + 0 + \ldots = 0\).

Šteli so tudi malo drugače:

\(s = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) - \ldots = 1 - 0 - 0 - \ldots = 1\).

Sklepali so: Ker je \(s = s\), je \(0 = 1\). Iz nič so ustvarili ena, torej Bog obstaja. :lol:
Zadnjič spremenil shrink, dne 28.8.2007 12:02, skupaj popravljeno 1 krat.

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Zapis
\($\sum_{i=0}^{\infty}0$\)
je res zelo grd. Preučiti je treba njeno konvergenco.

Uporabniški avatar
Rok Osolnik
Prispevkov: 63
Pridružen: 23.8.2005 13:17
Kraj: Srednja vas
Kontakt:

Odgovor Napisal/-a Rok Osolnik »

Ali ni tako, da je katerokoli število na 0 enako 1, se pravi je potem
tudi \(0^0 = 1\)
Zakaj bi komplicirali in si grenili življenje.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Rekel si stevilo. V primeru funkcij pa tisti nicli ni nujno da sta enaki. Funkcija nosi vec informacij kot nicla sama.

Jurij
Prispevkov: 585
Pridružen: 27.2.2006 11:09

Odgovor Napisal/-a Jurij »

no ja, pol sm se pa s tem mal poigrau če je že taka debata:
\(0^0=

=0^{(a-a)}=

={0^a}/{0^a}=

=(0/0)^a\)

Torj je 0^0 glih tok enak 1 kt 0/0 :)

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14591
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Odgovor Napisal/-a shrink »

Jurij napisal/-a:Torj je 0^0 glih tok enak 1 kt 0/0 :)
Primerjava je kar na mestu.

Uporabniški avatar
Rok Osolnik
Prispevkov: 63
Pridružen: 23.8.2005 13:17
Kraj: Srednja vas
Kontakt:

Odgovor Napisal/-a Rok Osolnik »

Nevem kaj komplicirate pa 4 strani popisujete, človek vas je preprosto vprašal, koliko je \(0^0\) in odgovor je ena.

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Nevem kaj komplicirate pa 4 strani popisujete, človek vas je preprosto vprašal, koliko je in odgovor je ena.
Očividno ni.

Tommo
Prispevkov: 109
Pridružen: 24.8.2007 14:06

Odgovor Napisal/-a Tommo »

shrink napisal/-a:Tommo, brez zamere, ampak tudi ti zgolj posplošuješ.

Tisti prvi "dokaz" dokazuje, da je \(0^0=1\) zgolj v tem posebnem primeru. Sam sem npr. ponudil dokaz za bolj splošen primer in sicer za izraze tipa \(f(x)^{f(x)}\) (glej moj prejšnji post, v katerem sem to spet omenil), ampak iz tega "dokaza" mi še ne pamet ne pride, da bi to posploševal na najbolj splošen primer \(f(x)^{g(x)}\). Indukcija je sicer čisto lep (matematični) prijem, ampak v tem primeru visi v zraku.

Tvoj drugi "dokaz", v katerem si "dokazoval", da je \(\infty \cdot 0 = 0\) pa je spet zgolj poseben primer, iz katerega ne moremo potegniti splošnih sklepov. Sicer pa se mi zdi tak zapis "grd", korak iz

\(\sum_1^{n}a = na\)

na

\(\lim_{n \to \infty} \sum_1^{n}a = \lim_{n \to \infty} na = \infty \cdot a\)

pa matematično "onegavljanje".

Vse skupaj me zelo spominja na prizadevanja sholastičnih filozofov, da bi matematično utemeljili obstoj Boga. Šteli so: ena manj ena je nič, plus ena je ena, manj ena je nič itd. Torej:

\(s = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + \ldots =\)
\(0 + 0 + 0 + \ldots = 0\).

Šteli so tudi malo drugače:

\(s = 1 - (1 - 1) - (1 - 1) - \ldots = 1 - 0 - 0 - \ldots = 1\).

Sklepali so: Ker je \(s = s\), je \(0 = 1\). Iz nič so ustvarili ena, torej Bog obstaja. :lol:
Bom še enkrat povedal z drugimi besedami. \(0\) je realno število kot vsako drugo in če velja \(a^0=1, a\in \mathbf R \setminus \lbrace 0 \rbrace\), potem ne vidim razloga, da isto ne bi veljalo tudi za \(a=0\). Ravno v mojem prejšnjem postu omenjeni prispevek pa ponuja razlago, zakaj je \(a^0=1, a\in \mathbf R \setminus \lbrace 0 \rbrace\). Če pač ničkrat množimo število s samim seboj, potem sploh nismo množili in glede na to, da vedno lahko množimo z \(1\), je vrednost takega izraza lahko samo \(1\).
Limita funkcije \(f(x)^{g(x)}\) je tukaj nepomembna in pravzaprav funkcionalna analiza sploh ni potrebna. Če sta za \(x=a\) funkciji \(f(x)=g(x)=0\), potem je vrednost izraza \(f(a)^{g(a)}=1\) in tu ni kaj dodati. Limita funkcije \(f(x)\), ko gre \(x\to a\) v splošnem ni enaka vrednosti funkcije \(f(a)\) !

Za izraz
\(\lim_{n \to \infty} \sum_1^{n}a = \lim_{n \to \infty} na = \infty \cdot a\)
pa ne vem, kje vidiš "onegavljenje" in se mi zdi čisto regularen, v kolikor seveda
\(\infty\) razumemo kot simbol števne neskončnosti in ne kot realno število, s katerim bi lahko izvajali matematične operacije.

O alternirajočih vrstah pa nisem rekel niti besede in ne vem od kod si jih "potegnil" v debato.

Kar se pa tiče Jurijeve izpeljave
\(0^0=0^{(a-a)}=0^a/0^a=(0/0)^a\)
pa priznam, da zdajle ne najdem pametnega ugovora, kvečjemu mi ni všeč deljenje z 0, ki je "prepovedano". Ker pa je že pozno, bom morda kaj več stuhtal do naslednjič.

Roman
Prispevkov: 6485
Pridružen: 21.10.2003 8:03

Odgovor Napisal/-a Roman »

Kaj pa takole: 1 dobimo tako, da \(a^{-1}\) pomnožimo z a. Pri \(a=0\) imamo \(0^{-1} (=\infty)\), kar pomnožimo z \(0\), to pa je po definiciji \(0\). Torej je \(0^0=0\).

Uporabniški avatar
Mephisto
Prispevkov: 268
Pridružen: 31.1.2006 14:15
Kraj: Skopo

Odgovor Napisal/-a Mephisto »

Slika
:lol:

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14591
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Odgovor Napisal/-a shrink »

Tommo napisal/-a:Bom še enkrat povedal z drugimi besedami. \(0\) je realno število kot vsako drugo in če velja \(a^0=1, a\in \mathbf R \setminus \lbrace 0 \rbrace\), potem ne vidim razloga, da isto ne bi veljalo tudi za \(a=0\). Ravno v mojem prejšnjem postu omenjeni prispevek pa ponuja razlago, zakaj je \(a^0=1, a\in \mathbf R \setminus \lbrace 0 \rbrace\). Če pač ničkrat množimo število s samim seboj, potem sploh nismo množili in glede na to, da vedno lahko množimo z \(1\), je vrednost takega izraza lahko samo \(1\).
Limita funkcije \(f(x)^{g(x)}\) je tukaj nepomembna in pravzaprav funkcionalna analiza sploh ni potrebna. Če sta za \(x=a\) funkciji \(f(x)=g(x)=0\), potem je vrednost izraza \(f(a)^{g(a)}=1\) in tu ni kaj dodati. Limita funkcije \(f(x)\), ko gre \(x\to a\) v splošnem ni enaka vrednosti funkcije \(f(a)\) !
Se ne strinjam, predvsem z delom
Tommo napisal/-a: Limita funkcije \(f(x)^{g(x)}\) je tukaj nepomembna in pravzaprav funkcionalna analiza sploh ni potrebna.
V analizi obstaja pojem "nedoločenih oblik" oz. "nedoločenosti", med katere sodi tudi \(0^0\).

Zato je tvoje omejevanje na \(0\) zgolj kot realno število v takšnem smislu brez pomena. Če bi si prebral vse moje poste v tej temi, bi spoznal, da izraz \(0^0\) obravnavam v najbolj splošni obliki, torej v obliki limite. \(0^0\), kot ga sam obravnavaš, je zgolj posebna oblika te limite.
Za izraz
\(\lim_{n \to \infty} \sum_1^{n}a = \lim_{n \to \infty} na = \infty \cdot a\)
pa ne vem, kje vidiš "onegavljenje" in se mi zdi čisto regularen, v kolikor seveda
\(\infty\) razumemo kot simbol števne neskončnosti in ne kot realno število, s katerim bi lahko izvajali matematične operacije.
No, ta tvoj dokaz s tem izrazom me je ravno spominjal na to, kar omenjaš na koncu, in sicer, da iz

\(a \cdot 0 = 0\),

enostavno sledi:

\(\infty \cdot 0 = 0\).

To se mi zdi čisto "onegavljanje" in zagotavljam ti, da v nobenem matematičnem učbeniku ne boš našel dokaza za slednje oz. si nihče ne bi drznil a priori trditi:

\(\infty \cdot 0 = 0\).

To je "grd" zapis, velja pa le v posebnih primerih.
O alternirajočih vrstah pa nisem rekel niti besede in ne vem od kod si jih "potegnil" v debato.
To je bila samo asociacija na tvoje dokazovanje, ki se mi zdi zelo sporno.
Kar se pa tiče Jurijeve izpeljave
\(0^0=0^{(a-a)}=0^a/0^a=(0/0)^a\)
pa priznam, da zdajle ne najdem pametnega ugovora, kvečjemu mi ni všeč deljenje z 0, ki je "prepovedano". Ker pa je že pozno, bom morda kaj več stuhtal do naslednjič.
Njegova "izpeljava" kaže na to, da je treba biti previden. Algebraične operacije z izrazi tipa

\(\frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \infty \cdot 0, \infty - \infty, 0^0, \infty^0, 1^{\infty}\)

lahko namreč vodijo do čudnih rezultatov, zato je manipuliranje z njimi sporno. Če pa delamo z limitami, te nevarnosti ni več. In ravno slednje je rdeča nit vsega mojega postanja v tej temi.

BTW: Saj je že Aniviller lepo povedal, v čem je poanta:
Aniviller napisal/-a:Rekel si stevilo. V primeru funkcij pa tisti nicli ni nujno da sta enaki. Funkcija nosi vec informacij kot nicla sama.

Tommo
Prispevkov: 109
Pridružen: 24.8.2007 14:06

Odgovor Napisal/-a Tommo »

Roman napisal/-a:Kaj pa takole: 1 dobimo tako, da \(a^{-1}\) pomnožimo z a. Pri \(a=0\) imamo \(0^{-1} (=\infty)\), kar pomnožimo z \(0\), to pa je po definiciji \(0\). Torej je \(0^0=0\).
Deljenje z nič ni dopustno in izraz \(1/0=\infty\) ni korekten. Še enkrat poudarjam, da \(\infty\) ni realno število in z njim ne moremo "računati".

Roman
Prispevkov: 6485
Pridružen: 21.10.2003 8:03

Odgovor Napisal/-a Roman »

Tommo, ni čisto res, oglej si na primer http://en.wikipedia.org/wiki/Infinity, poglavje Algebraic properties. No, 1/0 je tudi tu nedovoljena operacija.

Odgovori