Diofantske enačbe

[Dirty Sanchez]

a bi mi lahk kdo na simpl način razložo reševanje Diofantskih enačb?
Recimo primer:
5x-24y=1
splošno:
ax-by=1 // a je vedno minus ali samo v tem primeru ker je odzgoraj?
x=x' + bt
y=-y' + at
-------------
x = x' + 24t
y = -y' + 5t
-------------
tu naprej pa mi nekak ni najbolj jasno

5x' + 24y' = 1
24 = 4*5 + 4
5 = 1*4 + 1

1 = 5 - 1*4 = 5 - 1(24-4*5) = 5*5 - 24

in kako tu ven vidimo da je x' = 5 in y' = -1

[Rok Osolnik]

Diofantska enačba je enačba, katere rešitev iščemo v celih številih.
Linearne diofantske enačbe oblike:

ax+by=c

kjer so a, b in c cela števila in sta x in y neznanki. Zanimale nas bodo rešitve, pri katerih bosta x in y celi števili.

Označimo z d največji skupni delitelj števil a in b. Potem mora biti število c tudi deljivo z d, sicer enačba ni rešljiva v celih številih.

Predpostavimo, da rešitev enače ax+by=c obstaja in recimo, da poznamo rešitev
( x0 , y0 ).
Enačbo lahko delimo z d in dobimo enačbo

a'x + b'y = c' .

Velja pa tudi

a'x0 + b'y0 = c' .
Če enačbi odštejemo, dobimo

a'(x - x0 ) = -b'(y - y0 ).
Ker smo števili a' in b' dobili tako, da smo a in b delili z njunim največjim skupnim deliteljem, sta si števili a' in b' tuji. Torej mora biti zaradi zgornje zveze število y - y0 deljivo z a'. Podobno velja za ostala dva faktorja. Splošna rešitev je potem

x = x0 + kb'
y = y0 - ka'

[Roky]

Pozdravljeni!
Srečujem se s podobnim problemom, le da te enačbe se mi ne sanja kako jih rešit. Nekaj sem probal rešit, samo mi ne uspe. Zaustavi se takoj po iskanju skupnega delitelja.
Primer je takšen:

3x+8y=5

A lahko reši ta primer, da bom še druge znal rešit, ker se mi res ne sanja


Hvala in LP

[Jurij]

če ne drugače gledaš tako:
\(3x+8y=5\)
\(x=\frac{5-8y}{3}\)
\(x=2-3y+\frac{y-1}{3}\)
\(3|y-1\)
torej mora biti \(y=3k-1\) in če to vstavš v x, dobiš za vsa cela k.

[forumito]

\(7x+11y+6z=45\)

Rešitve: \(x=t_1 \text{, } y=6t_2+t_1+3 \text{, } z=2-11t_2-3t_1\)

Število pozitivnih rešitev (vem, da so zgolj neenačbe, samo si ne znam pomagati )?

[cHewap]

ja mislm da je tko:
če namesto x, y in z daš noter izraze z t1 in t2 se ti use lepo okrajša in dobiš, da je rešitev neskončno mnogo

[forumito]

ja mislm da je tko:
če namesto x, y in z daš noter izraze z t1 in t2 se ti use lepo okrajša in dobiš, da je rešitev neskončno mnogo

Ne, zagotovo je rešitev končno.