Ena diferencialna enačba

O matematiki, številih, množicah in računih...
fox
Posts: 91
Joined: 12.5.2008 1:45

Re: Ena diferencialna enačba

Post by fox » 21.6.2012 15:13

lahk mi en pomaga

kako se tole resuje korak po korakom , ker jaz nimam pojma

hvala
Attachments
DE2.jpg

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Ena diferencialna enačba

Post by Aniviller » 21.6.2012 17:45

Skrajna desna tocka nima desnega soseda ampak obravnava robni pogoj. Odvisno je, kaksno diskretizacijsko shemo vzames. Lahko kar zapises za vse tocke diskretno varianto prve enacbe:
\(\frac{y_{n-1}-2y_n+y_{n+1}}{h^2}+x_{n}y_{n}=0\)
Za predzadnjo tocko je to ze ok, za zadnjo moras pa upostevat, da desnega soseda nimas ampak lahko uporabis kar pogoj, da je prvi odvod enak nic. Ce v skrajni desni tocki zapises simetricno diferenco, iz tega kar sledi \(y_{n+1}=y_{n-1}\), kar lahko vstavis in zapises
\(\frac{2y_{n-1}-2y_n}{h^2}+x_{n}y_{n}=0\)

Ena izmed ostalih moznosti je, da predpostavis kar, da je leva prva diferenca na desnem robu 0 in das kar \(x_{n}=x_{n-1}\) in v bistvu v tej tocki sploh ne uporabis diferencialne enacbe.

Enacba za levo tocko je pa seveda kar \(y_0=1\).

fox
Posts: 91
Joined: 12.5.2008 1:45

Re: Ena diferencialna enačba

Post by fox » 21.6.2012 17:59

kako pa resis b) in c) ?
drugac pa hvala za a)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Ena diferencialna enačba

Post by Aniviller » 21.6.2012 18:28

Ja b) je samo zapis diskretiziranih enacb za vse tocke:
\(y_0=1\)
\(\frac{y_0-2y_1+y_2}{0.25^2}+0.25 y_1=0\)
\(\frac{y_1-2y_2+y_3}{0.25^2}+0.5 y_2=0\)
\(\frac{y_2-2y_3+y_4}{0.25^2}+0.75 y_3=0\)
\(\frac{2y_3-2y_4}{0.25^2}+y_4=0\)
pri c) pa to resis.

sanej
Posts: 71
Joined: 25.8.2010 18:00

Re: Ena diferencialna enačba

Post by sanej » 19.8.2012 12:16

imam enačbo homogeno enačbo \(x" + \[\lambda\]x = 0\) iz karakterističnega polinoma dobim

\(k = +-\sqrt{\[\lambda\]} in k = +-i\sqrt{\[\lambda\]}\) za lmbda > 0 in <0 kako iz tega pridem preko e^(nekaj x) do


X(x) = A ch[nekaj x ] + B sh[nekaj x] in X(x) = A sin[nekaj x] + B cos[ nekaj x ] za lambda >0 in <0 ??

problemi
Posts: 4931
Joined: 24.8.2009 1:20

Re: Ena diferencialna enačba

Post by problemi » 19.8.2012 15:41

sanej wrote:imam enačbo homogeno enačbo \(x" + \[\lambda\]x = 0\) iz karakterističnega polinoma dobim

\(k = +-\sqrt{\[\lambda\]} in k = +-i\sqrt{\[\lambda\]}\) za lmbda > 0 in <0 kako iz tega pridem preko e^(nekaj x) do


X(x) = A ch[nekaj x ] + B sh[nekaj x] in X(x) = A sin[nekaj x] + B cos[ nekaj x ] za lambda >0 in <0 ??
Ne razumem, kaj želiš reči s "pridem" preko ... do?

\(k_1_,_2=\frac{-p\mp\sqrt{p^2-4q}}{2}\)

\(D=p^2-4q\)

Torej zanima te \(D\). Rešitev karakteristične enačbe:

\(D>0\) (dobimo dve različni realni števili):

\(y(x)=C_1e^{k_1x}+ C_2e^{k_2x}\)

\(D<0\) (dobimo eno realno število kot dvojno rešitev):

\(y(x)=C_1e^{kx}+ C_2xe^{kx}\)

\(D=0\) (rešitev sta konjugirano kompleksni števili):

\(y(x)=C_1e^{(a+b_i)x}+C_2e^{(a-b_i)x}\)

Upoštevaje Eulerove formule:

\(y(x)=e^{ax}(C_1cos(bx)+ C_2sin(bx))\)

oziroma

\(y(x)=C_1e^{ax}sin(bx+C_2)\)

Torej iz dobljene vrednosti \(k_1_,_2\) oziroma \(D\) "prideš preko ... do". (v tvojem primeru je očitno, da je - sam ga nisem računal - \(D=0\). :)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Ena diferencialna enačba

Post by Aniviller » 19.8.2012 20:39

No tole glede predznakov diskriminante je narobe. Negativna diskriminanta vodi do konjugirano kompleksnih resitev pozitivna do razlicnih realnih in 0 vodi do degenerirane dvojne resitve. V tem primeru je diskriminanta negativna natanko tedaj, ko je lambda pozitiven. Pozitiven lambda da nihajoce resitve (sinus in kosinus), negativen lambda pa eksponentno narascanje in eksponentno pojemanje. To, da clena s prvim odvodom ni pa pove, da sta resitvi popolnoma imaginarni (in torej ni dusenja ali ojacanja nihanja).

problemi
Posts: 4931
Joined: 24.8.2009 1:20

Re: Ena diferencialna enačba

Post by problemi » 19.8.2012 23:38

Aniviller wrote:No tole glede predznakov diskriminante je narobe.
Aniviller, hvala ker si me popravil, upam da napisano ni zavedlo saneja.

Pravilno je:

\(y=e^{kx}\) sledi \(y'=ke^{kx}\) in \(y''=k^{2}e^{kx}\)

\(k^{2}e^{kx} + pke^{kx} + qe^{kx}=0\)

\(e^{kx}(k^2+pk+q)=0\) in ker \(e^{kx}\ne0\)

\(k^2+pk+q=0\) (karakteristična enačba)

\(k_1_,_2=\frac{-p\mp\sqrt{p^2-4q}}{2}\)

\(D=p^2-4q\)

Torej zanima te \(D\). Rešitev karakteristične enačbe:

\(D=p^2-4q>0\) (dobimo dve različni realni števili):

\(y(x)=C_1e^{k_1x}+ C_2e^{k_2x}\)

\(D=p^2-4q=0\) (dobimo eno realno število kot dvojno rešitev):

\(y(x)=C_1e^{kx}+ C_2xe^{kx}\)

\(D=p^2-4q<0\) (rešitev sta konjugirano kompleksni števili):

\(y(x)=C_1e^{(a+b_i)x}+C_2e^{(a-b_i)x}\)

Upoštevaje Eulerove formule:

\(y(x)=e^{ax}(C_1cos(bx)+ C_2sin(bx))\)

oziroma

\(y(x)=C_1e^{ax}sin(bx+C_2)\)

Sanej, torej če si dobil \(D=p^2-4q<0\) potem \(y(x)=e^{ax}(C_1cos(bx)+ C_2sin(bx))\).

Se opravičujem.

sanej
Posts: 71
Joined: 25.8.2010 18:00

Re: Ena diferencialna enačba

Post by sanej » 22.8.2012 10:57

Najlepša hvala za odgovore sedaj mi je jasno.

fox
Posts: 91
Joined: 12.5.2008 1:45

Re: Ena diferencialna enačba

Post by fox » 26.8.2012 19:05

Zdravo

A lahk mi en mal bolj razlozi zakaj se uporablja metoda koncnih elementov(MKE) , kaksen primer in podobno.Najbolj bi bilo ce pogledam kaksen primer

Hvala ze vnaprej

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Ena diferencialna enačba

Post by Aniviller » 26.8.2012 19:38

Metoda koncnih elementov je fleksibilna metoda za numericno resevanje parcialnih diferencialnih enacb - recimo difuzijska enacba, valovna enacba, ali v splosnem katerakoli enacba, katere resitev minimizira nek funkcional (recimo elasticno energijo ali kaj podobnega). Tipicen primer bolj kompliciranega sistema je recimo deformacija in napetost materiala pod obremenitvijo. Metoda ima mocno prednost v tem, da razdeli definicijsko obmocje v mrezo, ki ima vozlisca poljubno razporejena in zato lahko z zadovoljivo natancnostjo resujes tudi na definicijskih obmocjih cudne oblike, kar je v vecini prakticnih primerov - recimo prevajanje toplote in obremenitev ventila v jedrski elektrarni. Prednost je tudi to, da lahko zgostis tocke tam, kjer se resitev hitro spreminja (recimo na robu obmocja), tam kjer je pa resitev dolgocasna pa imas lahko le par tock in s tem poenostavis racun. Metoda je boljsa od navadne diskretizacije tudi zato, ker za njo stoji trdna teorija, ki pove kako je treba izvest, da je resevanje stabilno in natancno.

sanej
Posts: 71
Joined: 25.8.2010 18:00

Re: Ena diferencialna enačba

Post by sanej » 4.9.2012 11:30

Živjo.

Imam lesen valj s površino osnovne ploske S višino h in neko gostoto. Valj tiščimo v vodo tako, da se z zgornjo ploskvijo ujema z gladino vode, potem ga brez začetne hitrosti spustimo. privzamemo, da je sila trenja sorazmerna z višino potopljenega dela. Koliko mora biti koeficient trenja [k], da bo pri prvem dvigu izplavala natanko polovica valja ??

\(\[ F = F_{vzgona} - F_{trenja} - F_{gravitacije} \]\)

\(\[ m*a = \rho_{vode}*S*(h-x)*g - k*(h-x) - \rho_{valja}*S*x*g \]\)
dobim nekaj takega

\(\[ m*\ddot{x} = x *(Sg\rho_{vode} + Sg\rho_{valja} -k = Sg\rho_{vode}h -kh\)
verjetno bo rešitev neki takega

\(\[ x(t) = \cos(At) +\sin(At) \]\)

Zanima me če je sem reševal v pravi smeri, in kako tukaj upoštevam robne pogoje?? , kako opišeš da bo ravno pri prvem dvigu šlo za polovico iz vode ??
Hvala za odgovore

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Ena diferencialna enačba

Post by Aniviller » 4.9.2012 12:19

No pri gravitaciji vedno upostevas cel valj, sicer je pa ok:
\(ma=\rho_{vode} S (h-x)g-k(h-x)-\rho_{valja} S h g\)
\(m \ddot{x}+x(\rho_{vode}Sg-k)=(\rho_{vode}-\rho_{valja})Shg-kh\)
Gre za enacbo nihanja s premaknjenim izhodiscem. Ravnovesna vrednost, ko je pospesek 0, pride
\(x_0=\frac{(\rho_{vode}-\rho_{valja})Shg-kh}{\rho_{vode}Sg-k}\)
Tako da nastavek je
\(x=x_0+A\cos\omega t + B \sin\omega t\)
pogoji so pa
\(x(0)=0\)
\(x(t_1)=h/2\)
kjer je t1 pol periode (pri naslednjem ekstremu nihanja - zacnes v dolini, koncas v hribu).

Seveda je nastavek itak pravilen samo do takrat: trenje vedno nasprotuje smeri gibanja, tako da bi moral za naslednji odsek gibanja obrnit predznak pri k. To zamenja ravnovesno lego in frekvenco. V bistvu gre za nihanje, kjer vsakih pol nihaja nihas okrog drugega izhodisca in z drugo frekvenco, kar pocasi konvergira k mirovanju.

fox
Posts: 91
Joined: 12.5.2008 1:45

Re: Ena diferencialna enačba

Post by fox » 9.9.2012 13:56

Zdravo, rabim pomoc pri eni nalogi
Resujem DE

y ' ' + y = cos(x)

Hvala ze vnaprej

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Ena diferencialna enačba

Post by Aniviller » 9.9.2012 15:07

Resitvi homogenega dela sta sin(x) in cos(x). Opravka imas s posebnim primerom, ko je desna stran ze resitev homogenega dela. V teh primerih je ustrezen nastavek visje stopnje kot desna stran:
\(y=Ax\cos x+Bx\sin x\)
vstavis
\(A(-2\sin x-x \cos x)+B(2\cos x -x\cos x)+A(x\cos x+x\sin x)=\cos x\)
\(A(-2\sin x)+B(2\cos x)=\cos x\)
A=0
B=1/2
In seveda koncna resitev (s homogeno vred)
\(y=a\cos x+b \sin x+\frac{1}{2}x\sin x\)

Post Reply