Stran 1 od 3
Ena diferencialna enačba
Objavljeno: 24.2.2006 11:54
Napisal/-a MAC.H
Lahko kdo pomaga pri tej diferencialni enačbi?
\(1 - y = (3y-2)^2.y'^2\)
Re: Ena diferencialna enačba
Objavljeno: 24.2.2006 13:55
Napisal/-a qg
MAC.H napisal/-a:Lahko kdo pomaga pri tej diferencialni enačbi?
\(1 - y = (3y-2)^2.y'^2\)
Najprej obe strani koreniš in y na svojo stran in x na svojo stran.
Dobiš,
(3y-2)(1-y)^(0.5) dy = dx
Ta dva integrala (levo) pa sta verjetno v matematičnem priročniku, če sta trivialno rešljiva.
LPO
Objavljeno: 24.2.2006 14:15
Napisal/-a MAC.H
Jaz že dobim \(\frac {3y - 2}{\sqrt{1-y}}dy = dx\), vendar tega ne znam integrirati. Profesorica pa je rekla, da je neka druga finta, ki je jaz ne opazim.
Objavljeno: 24.2.2006 15:09
Napisal/-a Aniviller
Tukaj pa res ni potrebe po finti.
\(\int{\frac{3y-2}{\sqrt{1-y}}}dy=-2y\sqrt{1-y}+C\)
(prijem: \(3y-2=-3(1-y)+1\), \(\frac{3y-2}{\sqrt{1-y}}=-3\sqrt{1-y}+\frac{1}{\sqrt{1-y}}\), ta dva integrala sta elementarna)
Objavljeno: 24.2.2006 16:01
Napisal/-a MAC.H
Priznam, da sta integrala elementarna, vendar pa nisem opazil povezave med \(3y - 2\) in \(\sqrt{1 - y}\).
Najlepša hvala.
Objavljeno: 27.2.2006 9:25
Napisal/-a qg
Drugi način:
Napišeš 1-y = x^2 in zato dy= -2xdx in hitro rešiš tudi brez priročnika.
Kako se reši tale enačbe
Objavljeno: 7.9.2006 11:36
Napisal/-a andro
Če zna kdo tole rešit, bi bil zelo vesel
y¨¨+y=cosx*e^x
ta prv ipsilon ima dve črtici.
hvala lepa
lp andro
Objavljeno: 7.9.2006 12:18
Napisal/-a Aniviller
Najprej resis homogeni del, ki ima ocitni resitvi:
\(y_1=\cos{x}\)
\(y_2=\sin{x}\)
Nehomogeni del napises v obliki:
\(e^x\cos{x}=Re\{e^{(1+i)x}\}\)
Eksponent ni koren karakteristicne enacbe, zato je partikularna resitev oblike:
\(y_p=Ae^{(1+i)x}\)
Po vstavljanju dobis
\(A(1+i)^2+A=1\)
\(A=\frac{1-2i}{5}\)
Splosna resitev je
\(y=c_1 \cos{x}+c_2 \sin{x}+Re\{\frac{1-2i}{5}e^{(1+i)x}\}\)
\(y=c_1 \cos{x}+c_2 \sin{x}+\frac{1}{5}e^x (\cos{x}+2\sin{x})\)
Objavljeno: 8.9.2006 9:07
Napisal/-a andro
Hvala lepa za rešitev!
lp Andro
Objavljeno: 18.11.2007 21:08
Napisal/-a Mafijec
Kako se reši ta diferencialna enačba?
\((y + 2) dx = (2x + y - 4) dy\)
Namig: S primerno substitucijo prevedi enačbo na homogeno diferencialno
enačbo.
Pa še to, kje so diferencialne enačbe sploh obravnavane (knjiga??). Hvala.
Objavljeno: 19.11.2007 14:20
Napisal/-a shrink
Mafijec napisal/-a:Kako se reši ta diferencialna enačba?
\((y + 2) dx = (2x + y - 4) dy\)
Namig: S primerno substitucijo prevedi enačbo na homogeno diferencialno
enačbo.
Izhajamo iz:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{y+2}{2x+y-4}\).
Imamo torej opravka z dif. en. tipa:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{ax+by+c}{Ax+By+C}\).
Ker je
\(aB \ne bA\), uvedemo:
\(y=u+h \Rightarrow dy=du\),
\(x=v+k \Rightarrow dx=dv\),
pri čemer moramo konstanti
\(h\) in
\(k\) določiti tako, da dobimo homogeno enačbo. Substitucija nam da:
\(\frac{du}{dv} = \frac{u+h+2}{u+2v+h+2k-4}\).
Homogeno enačbo imamo takrat, ko je vsota prostih členov v števcu in imenovalcu ulomka na desni strani enaka 0:
\(h+2=0\),
\(h+2k-4=0\),
od koder sledi:
\(h=-2\) in
\(k=3\).
Sedaj imamo:
\(y=u-2\),
\(x=v+3\),
rešiti pa moramo prirejeno homogeno dif. en.:
\(\frac{du}{dv} = \frac{u}{u+2v}\),
ki se je lotimo npr. z nastavkom:
\(u=zv\).
Pa še to, kje so diferencialne enačbe sploh obravnavane (knjiga??). Hvala.
V našem jeziku je standardna knjiga:
F. Križanič: Navadne in parcialne diferencialne enačbe + I. Vidav: Variacijski račun
(ista poglavja so tudi v knjigi
Višja matematika 3).
Dobra skripta, ki obravnava dif. en., je tudi:
E. Zakrajšek: Analiza III.
Verjetno bi se v našem jeziku našlo še kaj.
Objavljeno: 19.11.2007 17:31
Napisal/-a Mafijec
Hvala!
Re: Ena diferencialna enačba
Objavljeno: 3.1.2008 22:28
Napisal/-a punk1977
Bi mi lahko kdo rešil naslednje naloge:6,7 na tem naslovu(zaželjeno je čimveč postopka seveda):
http://matematika.fe.uni-lj.si/sola/san ... ti/3A.html
8 nalogo na tem: (kako smo dobili tidve enačbi?)
http://matematika.fe.uni-lj.si/sola/san ... i/14A.html
Re: Ena diferencialna enačba
Objavljeno: 4.1.2008 19:03
Napisal/-a shrink
Poizkusi najprej samostojno kaj rešiti, saj gre za standardne naloge. Nekaj namigov:
Gre za linearni diferencialni enačbi (1. oz. 2. reda) s konstantnimi koeficienti.
Najprej je treba poiskati rešitev homogene enačbe (desna stran enaka 0): Pri enačbi 2. reda (6. naloga) jo poiščemo preko rešitev karakterističnega polinoma, pri enačbi 1. reda (7. naloga) pa rešujemo enačbo z ločljivima spremenljivkama.
Nato je treba poiskati še partikularno rešitev: bodisi z nastavkom bodisi z metodo variacije konstante.
Splošna rešitev je vsota homogenega in partikularnega dela. Začetni pogoj(i) določajo integracijske konstante.
Gre za problem vezanih ekstremov, ki ga rešujemo z Lagrangeovimi multiplikatorji.
\(x\) in
\(y\) sta vezana preko podane enačbe krivulje, potrebno pa je poiskati minimum funkcije:
\(f(x,y) = x^2 + y^2\) (kvadrat razdalje točke
\(T(x,y)\) na krivulji od izhodišča).
Re: Ena diferencialna enačba
Objavljeno: 14.1.2008 14:49
Napisal/-a punk1977
Pri 6. nalogi mi ni jasno kakšen nastavek uporabiti za partikularno rešitev, kajti eˇy nisem zasledil v nobeni rešeni nalogi