Ena diferencialna enačba
Re: Ena diferencialna enačba
Mislim da je tisto x pri premajhni resoluciji. Kar brez panike.
Re: Ena diferencialna enačba
Se mi je zdelo ja... Bi mi lahko povedal kaj več še o 8 nalogi?
Re: Ena diferencialna enačba
8. naloga: ce bi bila krivulja podana eksplicitno ali parametricno, bi lahko izracunal razdaljo poljubne tocke na krivulji od izhodisca in z odvodom poiskal ekstrem. Za implicitno funkcijo pa je bolje delati z vezanimi ekstremi: isces ekstrem funkcije \(x^2+y^2\) pod pogojem, da tocka lezi na krivulji \(f(x,y)=0\). Isces torej ekstrem funkcije
\(x^2+y^2-\lambda f(x,y)\)
Neznanke so 3: \(x,y,\lambda\), imas pa tri enacbe: nicelnost odvoda po x, nicelnost odvoda po y in osnovno enacbo \(f(x,y)=0\).
\(x^2+y^2-\lambda f(x,y)\)
Neznanke so 3: \(x,y,\lambda\), imas pa tri enacbe: nicelnost odvoda po x, nicelnost odvoda po y in osnovno enacbo \(f(x,y)=0\).
Re: Ena diferencialna enačba
Kako se reši tole nalogo :
\((1+(2x)^2)y'=8x\) pri pogoju \(y(0)=4\)
Hvala za odgovor:)
\((1+(2x)^2)y'=8x\) pri pogoju \(y(0)=4\)
Hvala za odgovor:)
Re: Ena diferencialna enačba
Pa to direktno integriras
\(y'=\frac{8x}{1+(2x)^2}\)
\(\int_4^y\,dy=\int_0^x \frac{8x}{1+(2x)^2}dx\)
Opazis lahko, da sem zacetni pogoj dal kar v meje integrala. Lahko tudi nedoloceno integriras in pustis notri prosto konstanto, ki jo dolocis na koncu. Tvoja izbira.
Integral je trivialen, lahko das 1+(2x)^2 za novo spremenljivko in ostane elementarni integral.
\(y'=\frac{8x}{1+(2x)^2}\)
\(\int_4^y\,dy=\int_0^x \frac{8x}{1+(2x)^2}dx\)
Opazis lahko, da sem zacetni pogoj dal kar v meje integrala. Lahko tudi nedoloceno integriras in pustis notri prosto konstanto, ki jo dolocis na koncu. Tvoja izbira.
Integral je trivialen, lahko das 1+(2x)^2 za novo spremenljivko in ostane elementarni integral.
Re: Ena diferencialna enačba
Se prav je rešitev: \(y(x)=ln(4x^2 +1) +4\) 
Re: Ena diferencialna enačba
Rabil bi pomoč še pri teh dveh nalogah:
1. \(y' + (2x/(1+x^2))y=6x^3 +6x\)
Homogeni del sem izračunal: y= C e^-ln(x^2+1)
Kako pa partikularni del dobim?
2.
Izračunajte rešitev homogene linearne diferencialne enačbe 2.reda
y''+10y'+25y=0
pri začetnem pogoju y(0)=2, y'(0)=1.
1. \(y' + (2x/(1+x^2))y=6x^3 +6x\)
Homogeni del sem izračunal: y= C e^-ln(x^2+1)
Kako pa partikularni del dobim?
2.
Izračunajte rešitev homogene linearne diferencialne enačbe 2.reda
y''+10y'+25y=0
pri začetnem pogoju y(0)=2, y'(0)=1.
Re: Ena diferencialna enačba
No kot prvo, odpravi logaritem in eksponentno funkcijo!
Potem pa z variacijo konstante: zacnes z istim nastavkom, le da je C(x) zdaj neznana funkcija. Vstavis noter, pol se pokrajsa in dobis nekaj v zvezi s C'(x), kar lahko neposredno integriras.
Potem pa z variacijo konstante: zacnes z istim nastavkom, le da je C(x) zdaj neznana funkcija. Vstavis noter, pol se pokrajsa in dobis nekaj v zvezi s C'(x), kar lahko neposredno integriras.
Re: Ena diferencialna enačba
2) no ta je pa linearna s konstantnimi koeficienti, samo resis karakteristicni polinom. V tem primeru imas dvojno niclo, torej imas tisti limitni primer, ko bi imel dve linearno neodvisni resitvi oblike \(e^{\lambda x}\). V tem primeru je par neodvisnih resitev \(e^{\lambda x}\) in \(x e^{\lambda x}\), kar lahko pises tudi kot \(y(x)=(ax+b)e^{\lambda x}\). Konstanta v eksponentu je v tvojem primeru -5.
Re: Ena diferencialna enačba
\(Yh= D/(x^2 +1)\)Aniviller napisal/-a:No kot prvo, odpravi logaritem in eksponentno funkcijo!
Potem pa z variacijo konstante: zacnes z istim nastavkom, le da je C(x) zdaj neznana funkcija. Vstavis noter, pol se pokrajsa in dobis nekaj v zvezi s C'(x), kar lahko neposredno integriras.
\(Y' = -(D2x)/(x^2+1)^2\)
To zdaj vstavim v prvotno enačbo: y'+ (2x/(1+x^2)) y =6x^3 +6x
dobim \(D'= (6x^3+6x)(x^2+1)\), integriram: \(D(x)= x^6 +3x^4 +3x^2 +D\)
Vstavim to v \(Yh= D/(x^2 +1)\) in dobim Yp
Yspl = Yh +Yp ... sam ta rezultat ni pravilen
Re: Ena diferencialna enačba
Saj je prav, resitev je
\(y=\frac{x^6+3x^4+3x^2+D}{1+x^2}\)
Lahko jo pa seveda se pametno premeces, da bo malo lepse izgledala. Recimo v stevcu opazis vzorec, ki izgleda kot nekaj na tretjo potenco. Ce iz D-ja potegnes eno enko (to vedno lahko naredis ker konstanta je pac konstanta, tudi ce ji odstejes ali pristejes 1), dobis tole
\(y=\frac{x^6+3x^4+3x^2+1+D}{1+x^2}=\frac{(1+x^2)^3+D}{1+x^2}=(1+x^2)^2+\frac{D}{1+x^2}\)
Iz tega vidis, da bi v resnici prisel skozi DE tudi ce bi dal 1+x^2 za novo spremenljivko.
\(y=\frac{x^6+3x^4+3x^2+D}{1+x^2}\)
Lahko jo pa seveda se pametno premeces, da bo malo lepse izgledala. Recimo v stevcu opazis vzorec, ki izgleda kot nekaj na tretjo potenco. Ce iz D-ja potegnes eno enko (to vedno lahko naredis ker konstanta je pac konstanta, tudi ce ji odstejes ali pristejes 1), dobis tole
\(y=\frac{x^6+3x^4+3x^2+1+D}{1+x^2}=\frac{(1+x^2)^3+D}{1+x^2}=(1+x^2)^2+\frac{D}{1+x^2}\)
Iz tega vidis, da bi v resnici prisel skozi DE tudi ce bi dal 1+x^2 za novo spremenljivko.
Re: Ena diferencialna enačba
Poiščite splošno rešitev linearne diferencialne enačbe drugega reda:
x^2 y'' -2y =4x^3,
če veste da pripadajočo homogeno dif.enačbo reši potenčna funkcija x^n.
Nato določite tisto rešitev, ki zadošča pogojema y(1)=0 in y'(1)=1.
Kaj naredim z x^2 ?
\(x^2 y^2 -0y-2=0
x^2 y^2 -2 =0
y^2 - 2/x^2=0\)
?
x^2 y'' -2y =4x^3,
če veste da pripadajočo homogeno dif.enačbo reši potenčna funkcija x^n.
Nato določite tisto rešitev, ki zadošča pogojema y(1)=0 in y'(1)=1.
Kaj naredim z x^2 ?
\(x^2 y^2 -0y-2=0
x^2 y^2 -2 =0
y^2 - 2/x^2=0\)
?
Re: Ena diferencialna enačba
Odkod ti sploh y^2 in zakaj ne vstavis nastavka? Vse kar rabis je vstavit predlog homogene resitve, da dobis "n", potem pa z variacijo konstante dobis se partikularno resitev.
Re: Ena diferencialna enačba
ubistvu ta y^2 bi movgu označt \(\lambda\)^2
Najprej se reši homogeno enačbo: \(x^2 y'' -2y = 0\)
A ni karakteristični polinom te enačbe: \(x^2 \lambda^2 -2=0\) ?
Najprej se reši homogeno enačbo: \(x^2 y'' -2y = 0\)
A ni karakteristični polinom te enačbe: \(x^2 \lambda^2 -2=0\) ?
Re: Ena diferencialna enačba
Karakteristicni polinom velja samo v primeru konstantnih koeficientov (v resnici pride iz tega, da je nastavek eksponentne oblike). Tukaj je direktna odvisnost od x, torej resitev itak ne bo eksponentna funkcija.
Saj resitev so ti povedali: potencna funkcija bo, samo potenco je treba se poiskat. Vstavis y=x^n in dobis
\(x^2 n(n-1)x^{n-2}-2x^n=0\)
Ze vidis zakaj se izide - x^2 ravno kompenzira izgubo potence zaradi odvajanja. Takim linearnim diferencianim enacbam, ki imajo potenco x-a ravno enako stopnji odvoda, pravimo tudi Eulerjeve diferencialne enacbe in imajo znane in dobro raziskane nacine resevanja. Dva nacina sta posebej pogosto navajana: potencni nastavek in zamenjava spremenljivke x v eksponentno funkcijo, s cimer dobis enacbo s konstantnimi koeficienti. Te prijeme se pac privadis s prakso in studijem. Tukaj ti pa itak povedo nastavek.
No ko zgornje razresis, dobis
\(n(n-1)-2=0\)
kar ima dve resitvi (seveda, enacba je 2. reda in ima dve druzini linearno neodvisnih resitev).
Saj resitev so ti povedali: potencna funkcija bo, samo potenco je treba se poiskat. Vstavis y=x^n in dobis
\(x^2 n(n-1)x^{n-2}-2x^n=0\)
Ze vidis zakaj se izide - x^2 ravno kompenzira izgubo potence zaradi odvajanja. Takim linearnim diferencianim enacbam, ki imajo potenco x-a ravno enako stopnji odvoda, pravimo tudi Eulerjeve diferencialne enacbe in imajo znane in dobro raziskane nacine resevanja. Dva nacina sta posebej pogosto navajana: potencni nastavek in zamenjava spremenljivke x v eksponentno funkcijo, s cimer dobis enacbo s konstantnimi koeficienti. Te prijeme se pac privadis s prakso in studijem. Tukaj ti pa itak povedo nastavek.
No ko zgornje razresis, dobis
\(n(n-1)-2=0\)
kar ima dve resitvi (seveda, enacba je 2. reda in ima dve druzini linearno neodvisnih resitev).