Ploščina astroide

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
Mafijec
Prispevkov: 472
Pridružen: 12.12.2005 21:36

Ploščina astroide

Odgovor Napisal/-a Mafijec »

Enačba za astroido:
\(x^{2/3} + y^{2/3} = a^{2/3}\)

Ploščino izračunam:
\(S= 4 * \int_{0}^{a} (a^{2/3}-x^{2/3})^{3/2} dx\)

Če tole integriram, pride ven klobasa. Je še kaka hitrejša varianta?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Seveda. V parametricni obliki, to pa lahko najdes kjerkoli na spletu ali v literaturi, saj je ena najbolj znanih neelementarnih krivulj.
\(x=a\cos^3\varphi\)
\(y=a\sin^3\varphi\)
\(\varphi \in [0,2\pi)\)

Potem pa mislim da je formula za parametricno ploscino takole:
\(S=\frac{1}{2}\int x\,dy-y\, dx\) (pride iz polovice ploscine paralelograma)

\(dx=-3a\cos^2\varphi\sin{\varphi}\, d\varphi\)
\(dy=3a\sin^2\varphi\cos{\varphi}\, d\varphi\)
\(S=\frac{1}{2} 8\int_0^{\frac{\pi}{4}}3a^2\cos^2\varphi\sin^2\varphi\, d\varphi\)
\(S=12 a^2\int_0^{\frac{\pi}{4}}\cos^2\varphi\sin^2\varphi\, d\varphi\)
\(S=12 a^2\frac{1}{32}(4\varphi-\sin{4\varphi})\big|_{\varphi=0}^{\frac{\pi}{4}}\)
\(S=\frac{3\pi a^2}{8}\)
kar lahko preveris tukaj

Pametno je vedeti se formulo za ploscino v polarnih koordinatah:
\(S=\frac{1}{2}\int \rho^2\, d\varphi\)

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14573
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Odgovor Napisal/-a shrink »

Me je že Aniviller prehitel, vendar vseeno:

Druga varianta je, da enačbo astroide zapišeš v parametrični obliki in nato uporabiš obrazec za izračun ploščine za parametrično podane funkcije (ki pa tako in tako v enem koraku sledi iz obrazca za eksplicitno podane funkcije):

\(S=\int_a^b f(x)dx \Rightarrow S=\int_\alpha^\beta y(t) \dot{x}(t)dt\)

Enačba astroide v parametrični obliki:

\(x(t) = a \cos^3t \Rightarrow \dot{x}(t) = -3a \cos^2t \sin t\)
\(y(t) = a \sin^3t\)

Če \(x\) teče od \(0\) do \(a\), \(t\) teče od \(\frac{\pi}{2}\) do \(0\) (iz zveze \(x(t) = a \cos^3t\)).

Ko vse navedeno upoštevamo, dobimo:

\(S= 4 \cdot (-3a^2) \int_{\pi/2}^0 \sin^4t \cos^2t dt\)

Integral rešimo npr. s prehodom na dvojne kote in dobimo (sem izračunal kar z Mathematico):

\(S=\frac{3}{8} \pi a^2\)

Sem preveril rezultat z izračunom v Mathematici za eksplicitno podano funkcijo (se ujema) in tudi v matematičnem priročniku.

Izbira enega ali drugega načina je pogojena s tem, kateri tip integralov ti je ljubše računati: ali kotnih ali iracionalnih funkcij. Po moje gre lažje s kotnimi funkcijami (priznam pa, da nisem poizkusil). 8)

Vsekakor je lažji Anivillerov način, saj pridela nižjo potenco za sinus.

Odgovori