Integral ArcTan[x]/(1-x^2)^(1/2)

[Mafijec]

Danes sem zapadel v matematično manijo, zato pač že tretji topic.

\(\int {\arctan{x} \over \sqrt{1-x^2}}dx\)

Mathematica 5.1 ga ne zna izračunati...

[Aniviller]

Ce vidis tole:
\(\frac{\arctan{x}}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arctan{x}\,d(\arcsin{x})\)
lahko integral prevedes na:
\(\int\arctan{\sin{u}}\, du\)
kar Mathematica sicer izracuna vendar je rezultat dolg za cel zaslon in poln kompleksnih stevil ter specialnih funkcij...

Kje si pa nasel ta integral????

[Mafijec]

Mirko Dobovišek, Milan Hladnik, Matjaž Omladič: Rešene naloge iz Analize 1, 10. natis, DMFA 1996, stran 31, naloga 391.

[Aniviller]

Je bil integral slucajno doloceni integral? Ker v tem primeru je to lahko cisto druga zgodba. Vsekakor pa objavi resitev ker me zanima kje tici past

[Mafijec]

Ja, določeni.

Naloga se pravzaprav glasi takole:

391. Izračunaj integrala

a) \(\int_{-1}^{+1}{\arccos x \over {1+x^2}} dx\)

in

b) \(\int_{0}^{+1}{\arctan x \over \sqrt{1-x^2}} dx\)

Integrala sta pravzaprav povezana (per partes).

Za prvega pravi rešitev, da notri vstavimo x = cos t (substitucija). Za drugega pa gremo per partes in pravzaprav pridemo na prvega.

Rešitvi:

a) \({\Pi}^2 \over 4\)
b) \({\Pi}^2 \over 8\)