Številske vrste
Številske vrste
Še eno vprašanje s tega poglavja:
\({1 \over 1*2} + {1 \over 2*3} + {1 \over 3*4} + ..\)
Kako tu izračunamo vsoto?
\({1 \over 1*2} + {1 \over 2*3} + {1 \over 3*4} + ..\)
Kako tu izračunamo vsoto?
Nalogo je možno rešiti tudi na sledeč način:
Najprej ugotovimo splošni člen vrste:
\(a_n= \frac{1}{n(n+1)}\),
ki ga zapišemo kot vsoto dveh parcialnih ulomkov:
\(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}\)
Enačbo množimo z \(n(n+1)\) in primerjamo koeficiente na obeh straneh. Dobimo \(A=1\) in \(B=-1\).
Splošni člen se torej glasi \(a_n= \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\).
Pišimo zaporedje delnih vsot:
\(s_1=a_1=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}\)
\(s_2=a_1+a_2=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})\)
\(s_3=a_1+a_2+a_3=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})\)
\(\vdots\)
\(s_n=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
Ugotovimo, da se v \(s_n\) odštejejo vsi členi razen prvega in zadnjega:
\(s_n=1-\frac{1}{n+1}\)
Vsota vrste je:
\(s=\lim_{n \to \infty}s_n=\lim_{n \to \infty}1-\frac{1}{n+1}=1\).
Na ta način se ognemo indukciji, pa čeprav je tudi sklepanje, da se notranji členi odštejejo, neke vrste indukcija.
Najprej ugotovimo splošni člen vrste:
\(a_n= \frac{1}{n(n+1)}\),
ki ga zapišemo kot vsoto dveh parcialnih ulomkov:
\(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}\)
Enačbo množimo z \(n(n+1)\) in primerjamo koeficiente na obeh straneh. Dobimo \(A=1\) in \(B=-1\).
Splošni člen se torej glasi \(a_n= \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\).
Pišimo zaporedje delnih vsot:
\(s_1=a_1=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}\)
\(s_2=a_1+a_2=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})\)
\(s_3=a_1+a_2+a_3=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})\)
\(\vdots\)
\(s_n=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\ldots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)
Ugotovimo, da se v \(s_n\) odštejejo vsi členi razen prvega in zadnjega:
\(s_n=1-\frac{1}{n+1}\)
Vsota vrste je:
\(s=\lim_{n \to \infty}s_n=\lim_{n \to \infty}1-\frac{1}{n+1}=1\).
Na ta način se ognemo indukciji, pa čeprav je tudi sklepanje, da se notranji členi odštejejo, neke vrste indukcija.
Jao, sram me je, to bi moral vedt. Hvala za info.
Zanima me še tole:
\({1\over3*5} + {1\over7*9} + {1\over11*13} + ...\)
To se npr. da prevest na:
\({1\over2} {({1\over3} - {1\over5} + {1\over7} - {1\over9} + {1\over11} - {1\over13} + ...)}\)
Še ena naloga:
\(\sum_{n=1}^\infty {n \over (n+1)!}\)
To je nekako takole:
\({1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 8} + {1 \over 30} + ...\)
Vsota je 1, kot je tudi vsota tele vrste:
\({1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + ...\)
Zanima me še tole:
\({1\over3*5} + {1\over7*9} + {1\over11*13} + ...\)
To se npr. da prevest na:
\({1\over2} {({1\over3} - {1\over5} + {1\over7} - {1\over9} + {1\over11} - {1\over13} + ...)}\)
Še ena naloga:
\(\sum_{n=1}^\infty {n \over (n+1)!}\)
To je nekako takole:
\({1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 8} + {1 \over 30} + ...\)
Vsota je 1, kot je tudi vsota tele vrste:
\({1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + ...\)
Re: Številske vrste
Ne znam rešiti naloge, ki je v priponki. Morda kdo ve, kako se je lotiti?
- Priponke
-
- 1.jpg (3.34 KiB) Pogledano 9936 krat
Re: Številske vrste
V imenovalcu so cleni kar po vrsti. To te spomni na odvajanje in integriranje potenc. Lahko si mislis da je vsota v resnici Taylorjeva vrsta izvrednotena pri x=1:
\(f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac{k x^{k+3}}{(k+1)(k+2)(k+3)}\)
Potence sem namenoma dal premaknjene, zato da bo odvajanje naredilo to kar hocemo. Vrsto trikrat odvajamo:
\(f'''(x)=\sum_{k=1}^\infty k x^k\)
Zdaj lahko delis z x:
\(\frac{f'''(x)}{x}=\sum_{k=1}^\infty k x^{k-1}\)
in integriras:
\(\int\frac{f'''(x)}{x}{\rm\,d}x=\sum_{k=1}^\infty x^k=\frac{x}{1-x}\)
Vidis da smo vrsto z lahkoto sesteli, ko smo prisli do necesa kar poznamo. Zdaj ko imamo funkcijo, pa lahko izvedemo vse operacije v obratni smeri, da dobimo f(x), da potem lahko vstavimo x=1.
\(\frac{f'''(x)}{x}=\frac{1}{(1-x)^2}\)
(ce bi to vrsto prepoznali ze prej, ne bi bilo treba integrirat in nazaj odvajat).
In zdaj samo se:
\(f'''(x)=\frac{x}{(1-x)^2}\)
In tako naprej. Pri integraciji pazi na integracijsko konstanto (prvotna vrsta se zacne z x^4, torej morajo biti tako nastavljene, da ko razvijes dobis ravno tako manjkajoce prve 4 clene).
Lahko bi tudi nastavili obratno in najprej integrirali (in se znebili k v stevcu), potem pa mnozili z x^nekaj in trikrat odvajali.
\(f(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac{k x^{k+3}}{(k+1)(k+2)(k+3)}\)
Potence sem namenoma dal premaknjene, zato da bo odvajanje naredilo to kar hocemo. Vrsto trikrat odvajamo:
\(f'''(x)=\sum_{k=1}^\infty k x^k\)
Zdaj lahko delis z x:
\(\frac{f'''(x)}{x}=\sum_{k=1}^\infty k x^{k-1}\)
in integriras:
\(\int\frac{f'''(x)}{x}{\rm\,d}x=\sum_{k=1}^\infty x^k=\frac{x}{1-x}\)
Vidis da smo vrsto z lahkoto sesteli, ko smo prisli do necesa kar poznamo. Zdaj ko imamo funkcijo, pa lahko izvedemo vse operacije v obratni smeri, da dobimo f(x), da potem lahko vstavimo x=1.
\(\frac{f'''(x)}{x}=\frac{1}{(1-x)^2}\)
(ce bi to vrsto prepoznali ze prej, ne bi bilo treba integrirat in nazaj odvajat).
In zdaj samo se:
\(f'''(x)=\frac{x}{(1-x)^2}\)
In tako naprej. Pri integraciji pazi na integracijsko konstanto (prvotna vrsta se zacne z x^4, torej morajo biti tako nastavljene, da ko razvijes dobis ravno tako manjkajoce prve 4 clene).
Lahko bi tudi nastavili obratno in najprej integrirali (in se znebili k v stevcu), potem pa mnozili z x^nekaj in trikrat odvajali.
Re: Številske vrste
Žal mi ni čisto jasen ta postopek. Problem je, da nimam literature s podobnimi primeri, iz koder bi se lahko iz enostavnih primerov naučil bolj kompleksnih.
Hvala za pomoč!
Hvala za pomoč!
Re: Številske vrste
Na kratko: vsoto pretvoris v potencno vrsto, ki da pri nekem x tisto kar ti hoces. To je univerzalen trik, se posebej za vsote, kjer je splosen clen racionalna funkcija.
S tem prides do funkcije neke spremenljivke in pridobis vse prednosti funkcionalne analize. Potem funkcijo v obliki vrste manipuliras (integriras, odvajas, mnozis s polinomom,...) dokler ne prides do znane vrste. To lahko potem zapises v zakljuceni obliki (pri nas je bila to funkcija x/(1-x)). Zdaj ko nimas vec zapisane z vrsto, lahko obrnes vse manipulacije ki si jih naredil prej z vrsto, da prides nazaj do prvotne funkcije.
Nas postopek:
vrsta za f(x)
odvajamo -> odvajamo -> odvajamo -> delimo z x -> integriramo
sestejemo vrsto v x/(1-x)
odvajamo -> mnozimo z x -> integriramo -> integriramo -> integriramo
vstavimo f(1).
Zadnjih treh integralov ti nisem resil, resi jih sam. Prides do dokaj grdih izrazov ker moras dvakrat integrirat logaritem. Resitev je f(1)=1/4.
Sam postopek se itak dela po obcutku - prepoznas vzorce v izrazu in poskusis izvest take operacije ki ti izraz poenostavijo. Tale primer je zelo dober ker prikaze razlicne trike ki jih lahko uporabis. Recimo to da delis z x, zato da ti bo integral dal "1/k", kar bo pokrajsalo "k" v vsoti.
S tem prides do funkcije neke spremenljivke in pridobis vse prednosti funkcionalne analize. Potem funkcijo v obliki vrste manipuliras (integriras, odvajas, mnozis s polinomom,...) dokler ne prides do znane vrste. To lahko potem zapises v zakljuceni obliki (pri nas je bila to funkcija x/(1-x)). Zdaj ko nimas vec zapisane z vrsto, lahko obrnes vse manipulacije ki si jih naredil prej z vrsto, da prides nazaj do prvotne funkcije.
Nas postopek:
vrsta za f(x)
odvajamo -> odvajamo -> odvajamo -> delimo z x -> integriramo
sestejemo vrsto v x/(1-x)
odvajamo -> mnozimo z x -> integriramo -> integriramo -> integriramo
vstavimo f(1).
Zadnjih treh integralov ti nisem resil, resi jih sam. Prides do dokaj grdih izrazov ker moras dvakrat integrirat logaritem. Resitev je f(1)=1/4.
Sam postopek se itak dela po obcutku - prepoznas vzorce v izrazu in poskusis izvest take operacije ki ti izraz poenostavijo. Tale primer je zelo dober ker prikaze razlicne trike ki jih lahko uporabis. Recimo to da delis z x, zato da ti bo integral dal "1/k", kar bo pokrajsalo "k" v vsoti.