kaj so definicije, ideje, postopki,.? (v odnosu do aksiomov)

O matematiki, številih, množicah in računih...
Uporabniški avatar
kren
Prispevkov: 1651
Pridružen: 17.2.2005 12:54

kaj so definicije, ideje, postopki,.? (v odnosu do aksiomov)

Odgovor Napisal/-a kren »

Recimo, da nekje preberem, da je zaporedje realnih stevil preslikava iz \(\mathbb{N}\) v \(\mathbb{R}\). Potem, ker ne vem kar iz zraka, kaj je to preslikava, polistam se malo in preberem: preslikava je predpis, ki vsakemu \(a \in A\) priredi natanko en \(f(a)\in B\). Pa recimo da je to jasno, vendar je tudi jasno, da se da v matematiki vse deducirati iz aksiomov. Tu se pa malo zatakne: kako bi npr. pojem preslikave in vse njene lastnosti lahko zvedli na tistih 13 aksiomov, ki karakterizirajo realna stevila?

Primer je bolj za to, da ne bo vse iz zraka pa da je bolj jasno kaj sploh hocem povedat (vprasat). Sicer pa, kaksen je v splosnem odnos med takimi definicijami (ali idejami kot npr. preslikave - pa se mnogo drugih) in aksiomi? Ce so aksiomi postavljeni samo zato da o njih ne dvomimo in iz njih izpeljujemo, kako potem izpeljemo taksne stvari? Ali se sploh da?

Uporabniški avatar
GJ
Prispevkov: 2635
Pridružen: 27.1.2003 22:08

Re: kaj so definicije, ideje, postopki,.? (v odnosu do aksio

Odgovor Napisal/-a GJ »

kren napisal/-a:Recimo, da nekje preberem, da je zaporedje realnih stevil preslikava iz \(\mathbb{N}\) v \(\mathbb{R}\). Potem, ker ne vem kar iz zraka, kaj je to preslikava, polistam se malo in preberem: preslikava je predpis, ki vsakemu \(a \in A\) priredi natanko en \(f(a)\in B\). Pa recimo da je to jasno, vendar je tudi jasno, da se da v matematiki vse deducirati iz aksiomov. Tu se pa malo zatakne: kako bi npr. pojem preslikave in vse njene lastnosti lahko zvedli na tistih 13 aksiomov, ki karakterizirajo realna stevila? Primer je bolj za to, da ne bo vse iz zraka pa da je bolj jasno kaj sploh hocem povedat (vprasat). Sicer pa, kaksen je v splosnem odnos med takimi definicijami (ali idejami kot npr. preslikave - pa se mnogo drugih) in aksiomi? Ce so aksiomi postavljeni samo zato da o njih ne dvomimo in iz njih izpeljujemo, kako potem izpeljemo taksne stvari? Ali se sploh da?
Sej ne vem, če mi je čist jasno kaj te muči..
Kot prvo povsem zadošča 8 osnovnih aksiomov.
Zato bom skušal povedati po domače.. :lol:
Smiselna matematična preslikava je logična relacija aksiomov. 8)
Kje verjetno tiči tvoj problem?
1)Preslikava je v svoji osnovi funkcija!
2)Realna števila pa so definirana kot življenjska. Torej realna števila so po definiciji tista katera lahko srečamo v realnem življenju.
3)Kot vidiš imaš sedaj osnovno resnico ali aksiom, ki ni direktno vezan z abstraktno matematiko. Zakaj? V realnem (naravnem) življenju, realno (torej je realno = naravno) gledano ne moreš imeti nič jabolk, lahko pa rečeš, da nimaš jabolk. Prav tako ne moreš reči da imaš -1 jabolko, lahko pa rečeš, da ti manjka eno jabolko.
4)Ker v abstraktni matematiki poznamo aksiom a + b = b + a sledi.. Če ti realno manjka eno jabolko rečemo, da je rezultat tvojega abstraktnega računanja oziroma preslikave, -1 jabolko.

Upam, da sem ti kaj pomagal.. :roll:


Lahko noć..

Uporabniški avatar
kren
Prispevkov: 1651
Pridružen: 17.2.2005 12:54

Odgovor Napisal/-a kren »

Kot prvo povsem zadošča 8 osnovnih aksiomov.
4 za sestevanje, 4 za mnozenje, enota za mnozenje ni enaka enoti za sestevanje, distributivnost operacij, natanko eno od stevil a in -a je pozitivno, produkt (vsota) pozitivnih je spet pozitivno stevilo in se Dedekindov aksiom. Katerih pet bi ti crtal?
Preslikava je v svoji osnovi funkcija!
Funkcije recemo realnim preslikavam.
2)Realna števila pa so definirana kot življenjska. Torej realna števila so po definiciji tista katera lahko srečamo v realnem življenju.
Realna stevila so definirana z aksiomi.
3)Kot vidiš imaš sedaj osnovno resnico ali aksiom, ki ni direktno vezan z abstraktno matematiko.
Sem odprl temo le za abstraktno matematiko.
Smiselna matematična preslikava je logična relacija aksiomov.
No lepo, zanima me kako se formalno to zvede na omenjene aksiome.

Uporabniški avatar
GJ
Prispevkov: 2635
Pridružen: 27.1.2003 22:08

Odgovor Napisal/-a GJ »

kren napisal/-a:
Kot prvo povsem zadošča 8 osnovnih aksiomov.
4 za sestevanje, 4 za mnozenje, enota za mnozenje ni enaka enoti za sestevanje, distributivnost operacij, natanko eno od stevil a in -a je pozitivno, produkt (vsota) pozitivnih je spet pozitivno stevilo in se Dedekindov aksiom. Katerih pet bi ti crtal?
Zadošča prvih osem aksiomov!
Mislil sem na osnovne matematične aksiome kot so ..

A1)Komutativnosti seštevanja oziroma a + b = b + a.
A2)Asociativnost seštevanja oziroma (a + b) + c = a + (b + c)
A3)Nič je nevtralni element za seštevanje oziroma a + 0 = a
A4) -a je nasprotni element elementa +a oziroma a+(-a) = 0
A5)Komutativnosti množenja oziroma a * b = b * a.
A6)Asociativnost množenja oziroma (a * b) * c = a (b * c)
A7)Distributivnost oziroma (a + b) * c = (a * c) + (b * c)
A8 ) 1 je nevtralni element za množenje oziroma a * 1 = a

Naslednji štirje aksiomi govorijo o urejenosti celih števil.
kren napisal/-a:
2)Realna števila pa so definirana kot življenjska. Torej realna števila so po definiciji tista katera lahko srečamo v realnem življenju.
Realna stevila so definirana z aksiomi.
Seveda, ampak jih moraš razumeti.
kren napisal/-a:
3)Kot vidiš imaš sedaj osnovno resnico ali aksiom, ki ni direktno vezan z abstraktno matematiko.
Sem odprl temo le za abstraktno matematiko.
Nisi me razumel..
Razmišljanje je abstraktno, čutenje pa realno. To moraš ločiti, namreč to je vzrok, da v matematiki obstajajo realna in naravna števila.
kren napisal/-a:
Smiselna matematična preslikava je logična relacija aksiomov.
No lepo, zanima me kako se formalno to zvede na omenjene aksiome.
Ne more, ker je smisel določen z aksiomi.


Lep dan želim..

Uporabniški avatar
kren
Prispevkov: 1651
Pridružen: 17.2.2005 12:54

Odgovor Napisal/-a kren »

GJ: glede na teh osem, ki si jih napisal mnozenje nima inverza. Pa ker ni zahteve, da je vsota in produkt pozitivnih stevil spet pozitivno, jih ne moremo urediti po velikosti. Pa ker ni Dedekindovega aksioma (ki zahteva, da ima vsaka neprazna navzgor omejena mnozica natancno zgornjo mejo) se tudi cel kup reci ne da naresti.
Ne more, ker je smisel določen z aksiomi.
Ne razumem, smisel cesa? Kako sploh lahko aksiomi dolocajo kaksen smisel?
Razmišljanje je abstraktno, čutenje pa realno. To moraš ločiti, namreč to je vzrok, da v matematiki obstajajo realna in naravna števila.
Kako je to lahko vzrok za naravna in realna stevila? To je samo oznaka za mnozice.

Kako to mislis, da je aksiome treba razumeti? Pa recimo na primeru a + b = b + a. Kaj je tu za razumeti, ce zahtevamo, da to velja za poljubni realni stevili?

Uporabniški avatar
GJ
Prispevkov: 2635
Pridružen: 27.1.2003 22:08

Odgovor Napisal/-a GJ »

kren napisal/-a:GJ: glede na teh osem, ki si jih napisal mnozenje nima inverza.
Saj ga ne potrebuje, ker izhaja glede na aksiom A4 in ostalih aksiomov.

kren napisal/-a:Pa ker ni zahteve, da je vsota in produkt pozitivnih stevil spet pozitivno, jih ne moremo urediti po velikosti. Pa ker ni Dedekindovega aksioma (ki zahteva, da ima vsaka neprazna navzgor omejena mnozica natancno zgornjo mejo) se tudi cel kup reci ne da naresti.
V tem primeru potrebuješ (normalno precej redko) še ostale štiri aksiome.
Sej sem, sicer res zgolj omenil, da urejenost celih števil določajo naslednji štirje aksiomi: :lol:

A9) Med dvema številoma a in b velja natanko ena izmed realcij oziroma a = b; a > b; a < b
A10)Tranzitivnost relacije oziroma (a < b) ^ (b < c) >> a < c
A11)Ohranjanje tranzitivnosti relacije pri seštevanju oziroma a < b >> a + c < b +c
A12)Ohranjanje tranzitivnosti relacije pri množenju oziroma a < b >> a * c < b * c
kren napisal/-a:
Ne more, ker je smisel določen z aksiomi.
Ne razumem, smisel cesa? Kako sploh lahko aksiomi dolocajo kaksen smisel?
Aksiomi določajo pravila in posledično smisel.
Lep primer so igre. Igra brez pravil nima smisla, torej? Ko določimo pravila igre ta dobi svoj smisel. Vsaka igra je določena s pravili oziroma aksiomi, ki se jih da abstraktno matematično popisati.
Lahko bi rekli, da je matematika neke vrste abstraktna igra, ki jo določajo aksiomi.
kren napisal/-a:
Razmišljanje je abstraktno, čutenje pa realno. To moraš ločiti, namreč to je vzrok, da v matematiki obstajajo realna in naravna števila.
Kako je to lahko vzrok za naravna in realna stevila? To je samo oznaka za mnozice.
Seveda, če se zavedamo njihovega abstraktnega pomena. Naravna števila zastopajo materijo oziroma količino nečesa. Število nič in pa negativna števila ne moremo preslikati v realnost. Lahko pa jih abstraktno zapišemo.
kren napisal/-a:Kako to mislis, da je aksiome treba razumeti? Pa recimo na primeru a + b = b + a. Kaj je tu za razumeti, ce zahtevamo, da to velja za poljubni realni stevili?

No, razumeti na tem mestu pomeni imeti sposobnost njihovega nadaljnega povezovanja z ostalimi aksiomi.

Lep dan želim..

Roman
Prispevkov: 6382
Pridružen: 21.10.2003 8:03

Odgovor Napisal/-a Roman »

Pravila definirajo igro, ne njenega smisla. Smisel igre določajo igralci, pač glede na svoje cilje. Igra sama zase nima nikakršnega smisla.

Uporabniški avatar
GJ
Prispevkov: 2635
Pridružen: 27.1.2003 22:08

Odgovor Napisal/-a GJ »

Roman napisal/-a:Pravila definirajo igro, ne njenega smisla.
Hja, seveda. Vendar so pravila tista v katerih igralec najde smisel ali pa tudi ne. :D
Roman napisal/-a:Smisel igre določajo igralci, pač glede na svoje cilje. Igra sama zase nima nikakršnega smisla.

Tako je. Igra sama zase ne obstaja.

Lep dan želim..

Uporabniški avatar
kren
Prispevkov: 1651
Pridružen: 17.2.2005 12:54

Odgovor Napisal/-a kren »

GJ s temi 12 aksiomi ne vemo niti ali je vsota pozitivnh stevil res pozitivna. Pa pri mnozenju se tranzitivnost neenakosti ne ohranja vedno, kar zmnozi poljubno neenakost z -1. Pa ne vidim, kako iz A4) in se nekaterih (katerih le?) sledi, da eksistirajo inverzni elementi za mnozenje?
Seveda, če se zavedamo njihovega abstraktnega pomena. Naravna števila zastopajo materijo oziroma količino nečesa. Število nič in pa negativna števila ne moremo preslikati v realnost. Lahko pa jih abstraktno zapišemo.
Ce pojem pol jabolka, koliko mi ga se ostane v rokah? Sploh pa je kakrsnokoli slikanje ze kar abstrahiranje.
No, razumeti na tem mestu pomeni imeti sposobnost njihovega nadaljnega povezovanja z ostalimi aksiomi.
Se strinjam, pa da se ne bi prevec oddaljili od teme, kako bi recimo pojem preslikave (ali funkcije - kar ni nic drugega kot preslikava iz \(\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\)) izpeljali iz aksiomov?

Uporabniški avatar
GJ
Prispevkov: 2635
Pridružen: 27.1.2003 22:08

Odgovor Napisal/-a GJ »

kren napisal/-a:GJ s temi 12 aksiomi ne vemo niti ali je vsota pozitivnh stevil res pozitivna. Pa pri mnozenju se tranzitivnost neenakosti ne ohranja vedno, kar zmnozi poljubno neenakost z -1. Pa ne vidim, kako iz A4) in se nekaterih (katerih le?) sledi, da eksistirajo inverzni elementi za mnozenje?
Realna števila so definirana tako, da ima vsako realno število tudi svoje inverzno število. Med drugim je tako definicija množice realnih števil in sem upal, da ti je to znano.
kren napisal/-a:
Seveda, če se zavedamo njihovega abstraktnega pomena. Naravna števila zastopajo materijo oziroma količino nečesa. Število nič in pa negativna števila ne moremo preslikati v realnost. Lahko pa jih abstraktno zapišemo.
Ce pojem pol jabolka, koliko mi ga se ostane v rokah? Sploh pa je kakrsnokoli slikanje ze kar abstrahiranje.
Kren mešaš življenske pojme z abstraktnim..
Govoriva vendar o realnih številih..
Gelj, če hočeš biti natančen..
Če imaš v roki eno jabolko in ga pol poješ, imaš potem v roki nič jabolk plus eno polovico jabolka.
kren napisal/-a:
No, razumeti na tem mestu pomeni imeti sposobnost njihovega nadaljnega povezovanja z ostalimi aksiomi.
Se strinjam, pa da se ne bi prevec oddaljili od teme, kako bi recimo pojem preslikave (ali funkcije - kar ni nic drugega kot preslikava iz \(\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\)) izpeljali iz aksiomov?

Zopet mešaš materialno z abstraktnih.
Funkcija in aksiomi nimajo veliko skupnega.
Funkcija je po definiciji logični stroj in za svoje delovanje potrebuje materialno utelešenje.
Lahko jo sicer popišemo čisto abstraktno. Vendar je to zgolj njen abstraktni zapis. Da funkcija deluje more biti implementirana v stroj (ali pa v možgane). :)
Funkcije so zato posledično vezane na dimenzijo časa, tukaj mislim na njihovo izvedbo oziroma preslikavo.

Lep dan želim..

Roman
Prispevkov: 6382
Pridružen: 21.10.2003 8:03

Odgovor Napisal/-a Roman »

GJ napisal/-a:Funkcija je po definiciji logični stroj in za svoje delovanje potrebuje materialno utelešenje.
V matematiki ni prav nič materialnega. Je čista abstrakcija. In funkcija je v kontekstu te teme matematični objekt in nima s časom nikakršne zveze.

Uporabniški avatar
GJ
Prispevkov: 2635
Pridružen: 27.1.2003 22:08

Odgovor Napisal/-a GJ »

Roman napisal/-a:
GJ napisal/-a:Funkcija je po definiciji logični stroj in za svoje delovanje potrebuje materialno utelešenje.
V matematiki ni prav nič materialnega. Je čista abstrakcija. In funkcija je v kontekstu te teme matematični objekt in nima s časom nikakršne zveze.
Seveda je tako, dokler jo gledamo zgolj abstraktno.
Vendar njena implementacija in posledično njen izračun zahteva logični stroj oziroma utelešenje. Šele takrat lahko govorimo o igri.

Lep dan želim.

Roman
Prispevkov: 6382
Pridružen: 21.10.2003 8:03

Odgovor Napisal/-a Roman »

O kakšni implementaciji govoriš? In o kateri igri? Da se nisi nalezel Vedeža?

Uporabniški avatar
kren
Prispevkov: 1651
Pridružen: 17.2.2005 12:54

Odgovor Napisal/-a kren »

GJ napisal/-a:Kren mešaš življenske pojme z abstraktnim..
Govoriva vendar o realnih številih..
Saj si ti zacel z zivljenjskimi, kar poglej...:
GJ napisal/-a:Seveda, če se zavedamo njihovega abstraktnega pomena. Naravna števila zastopajo materijo oziroma količino nečesa. Število nič in pa negativna števila ne moremo preslikati v realnost. Lahko pa jih abstraktno zapišemo.
Realna števila so definirana tako, da ima vsako realno število tudi svoje inverzno število.
Ja, ampak to iz tistih aksiomov ki si jih napisal sploh ne sledi (realna stevila so definirana z malo drugacnimi aksiomi).
Med drugim je tako definicija množice realnih števil in sem upal, da ti je to znano.
Mi je znano ja.. Tebi pa ocitno ne, ce pravis, da ce neenakost -2 < 2 pomnozimo z -1 (dvanajsti aksiom ki si ga napisal pravi, da za mnozenje pri relaciji < velja tranzitivnost), dobimo 2 < -2. To pa ne le, da je dalec od tega kot so v matematiki definirana realna stevila, celo v protislovju z devetim aksiomom, ki si ga napisal..
Zopet mešaš materialno z abstraktnih.
Funkcija in aksiomi nimajo veliko skupnega.
Funkcija je po definiciji logični stroj in za svoje delovanje potrebuje materialno utelešenje.
Lahko jo sicer popišemo čisto abstraktno. Vendar je to zgolj njen abstraktni zapis.
Potem mislis, da niso aksiomi vse potrebno, da se kaj izpelje v matematiki?

Uporabniški avatar
GJ
Prispevkov: 2635
Pridružen: 27.1.2003 22:08

Odgovor Napisal/-a GJ »

kren napisal/-a:
Realna števila so definirana tako, da ima vsako realno število tudi svoje inverzno število.
Ja, ampak to iz tistih aksiomov ki si jih napisal sploh ne sledi (realna stevila so definirana z malo drugacnimi aksiomi).
Res je tisti štirje dodatni aksiomi A9, A10, A11 in A12 povsem držijo le za naravna števila.
Hotel sem zgolj povedati, da glede na to s kakšnimi števili operiraš takšna pravila oziroma aksiomi veljajo.
Med drugim je tako definicija množice realnih števil in sem upal, da ti je to znano.
Ups napača, moralo bi napisati naravnih števil..
kren napisal/-a:Potem misliš, da niso aksiomi vse potrebno, da se kaj izpelje v matematiki?
Eee, potreben je še nekdo, ki to izpelje. 8)
Mislim, (kar ne pomeni da tudi znam), da je vse možno popisati z nekimi osnovnimi resnicami.

Lep dan želim..

Odgovori