Zdravo...mi lahko kdo pomaga izračunati naslednji integral....napisati začetek postopka....
http://www.wolframalpha.com/input/?i=in ... x%29%29%29
Najlepša hvala
Integrali
Re: Integrali
Namig:
Substitucija: \(u=\cos x \Rightarrow du=-\sin x\,\mathrm{d}x\), s čimer dobiš integral racionalne funkcije, ki se ga standardno lotiš (parcialni ulomki...).
Substitucija: \(u=\cos x \Rightarrow du=-\sin x\,\mathrm{d}x\), s čimer dobiš integral racionalne funkcije, ki se ga standardno lotiš (parcialni ulomki...).
Re: Integrali
Kako se reši ta integral: \(\int_{0}^{1}{e^x^2}dx\)
Re: Integrali
Če je v eksponentu \(x^2\), integral (nedoločeni) ni izrazljiv z elementarnimi funkcijami.
Če integral preoblikuješ v:
\(\displaystyle \int_0^1 e^{-(ix)^2}dx\),
lahko uvedeš \(t=ix \Rightarrow dt=idx\):
\(\displaystyle -i \int_0^i e^{-t^2}dt\),
kjer prepoznaš specialno funkcijo:
\(\displaystyle \mathrm{erf} (z)=\frac{2}{\sqrt\pi} \int_0^z e^{-t^2}dt\).
Tako dobiš rezultat:
\(\displaystyle\frac{-i\sqrt\pi}{2}\mathrm{erf}(i)\).
Če se poslužiš razvoja \(\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt\pi} \left (z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\cdots \right )\), sledi:
\(-i \left (i-\frac{i^3}{3}+\frac{i^5}{10}-\cdots \right ) \approx 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{10}=\frac{43}{30} \approx 1.433\).
Če integral preoblikuješ v:
\(\displaystyle \int_0^1 e^{-(ix)^2}dx\),
lahko uvedeš \(t=ix \Rightarrow dt=idx\):
\(\displaystyle -i \int_0^i e^{-t^2}dt\),
kjer prepoznaš specialno funkcijo:
\(\displaystyle \mathrm{erf} (z)=\frac{2}{\sqrt\pi} \int_0^z e^{-t^2}dt\).
Tako dobiš rezultat:
\(\displaystyle\frac{-i\sqrt\pi}{2}\mathrm{erf}(i)\).
Če se poslužiš razvoja \(\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt\pi} \left (z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\cdots \right )\), sledi:
\(-i \left (i-\frac{i^3}{3}+\frac{i^5}{10}-\cdots \right ) \approx 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{10}=\frac{43}{30} \approx 1.433\).
Re: Integrali
A to velja tudi če je ta integral v nalogi za spremembo mej v integralu?
Recimo: \(\int_{0}^{1}dy\int_{3y}^{y}e^x^{2}dx\)
Recimo: \(\int_{0}^{1}dy\int_{3y}^{y}e^x^{2}dx\)
Re: Integrali
Tu gre za dvojni integral:
\(\displaystyle \int_0^1 \left [ \int_y^{3y} e^{x^2} dx \right ] dy\).
Najprej rešujemo notranjega, v katerem najprej prepoznamo razliko:
\(\displaystyle \int_y^{3y} e^{x^2} dx = \int_0^{3y} e^{x^2} dx - \int_0^y e^{x^2} dx\).
Od prej (prejšnji post) vemo:
\(\displaystyle \int_0^y e^{x^2} dx = -i \int_0^{iy} e^{-t^2} dt = -\frac{i\sqrt\pi}{2}\mathrm{erf}(iy)\)
in podobno:
\(\displaystyle \int_0^{3y} e^{x^2} dx = -i \int_0^{3iy} e^{-t^2} dt = -\frac{i\sqrt\pi}{2}\mathrm{erf}(3iy)\).
Notranji integral je tako:
\(\displaystyle \int_y^{3y} e^{x^2} dx = \int_0^{3y} e^{x^2} dx - \int_0^y e^{x^2} dx = -\frac{i\sqrt\pi}{2}(\mathrm{erf}(3iy)-\mathrm{erf}(iy))\),
zunanji (celotni) pa:
\(\displaystyle -\frac{i\sqrt\pi}{2} \int_0^1 \left [\mathrm{erf}(3iy)-\mathrm{erf}(iy) \right ] dy\).
Sedaj ne preostane drugega, kot da ga rešimo, kar pomeni, da moramo rešiti ali poznati:
\(\displaystyle \int \mathrm{erf}(z) dz\).
Tega se lahko lotimo per partes, ampak s tem bi samo izumljali toplo vodo, kajti ta integral je v splošnem znan rezultat, glej npr. tukaj:
\(\displaystyle \int \mathrm{erf}(z) dz = z\mathrm{~erf}(z) + \frac{e^{-z^2}}{\sqrt\pi}+C\).
Tako je zunanji integral enak:
\(\displaystyle -\frac{i\sqrt\pi}{2} \left ( \int_0^1 \mathrm{erf}(3iy) dy- \int_0^1 \mathrm{erf}(iy) dy \right )=\) \(\displaystyle -\frac{\sqrt\pi}{6} \int_0^{3i} \mathrm{erf}(z) dz +\frac{\sqrt\pi}{2} \int_0^{i} \mathrm{erf}(z) dz =\)
\(\displaystyle = -\frac{\sqrt\pi}{6}\left [ z\mathrm{~erf}(z) + \frac{e^{-z^2}}{\sqrt\pi} \right]_0^{3i}\) \(\displaystyle +\frac{\sqrt\pi}{2}\left [ z\mathrm{~erf}(z) + \frac{e^{-z^2}}{\sqrt\pi} \right]_0^{i}\)
\(\displaystyle = -\frac{\sqrt\pi}{6}\left ( 3i\mathrm{~erf}(3i) + \frac{e^{-(3i)^2}}{\sqrt\pi} - 0 - \frac{1}{\sqrt\pi} \right )\) \(\displaystyle +\frac{\sqrt\pi}{2}\left ( i\mathrm{~erf}(i) + \frac{e^{-i^2}}{\sqrt\pi} - 0 - \frac{1}{\sqrt\pi} \right )\)
\(\displaystyle = -\frac{\sqrt\pi}{6}\left ( 3i\mathrm{~erf}(3i) + \frac{e^9}{\sqrt\pi} - \frac{1}{\sqrt\pi} \right )\) \(\displaystyle +\frac{\sqrt\pi}{2}\left ( i\mathrm{~erf}(i) + \frac{e}{\sqrt\pi} - \frac{1}{\sqrt\pi} \right )\)
Če sedaj spet uporabimo razvoj \(\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt\pi} \left (z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}-\cdots \right )\), dobimo:
\(\displaysytle 3i\mathrm{~erf}(3i)=\frac{2 \cdot 3i}{\sqrt\pi} \left (3i -\frac{(3i)^3}{3}+\frac{(3i)^5}{10}-\frac{(3i)^7}{42}+\frac{(3i)^9}{216}-\cdots \right ) \approx -4890\)
(tu je za doseganje konvergence na prvi decimalki treba vzeti vsaj 20 členov)
in
\(\displaysytle i\mathrm{~erf}(i)=\frac{2 \cdot i}{\sqrt\pi} \left (i -\frac{i^3}{3}+\frac{i^5}{10}-\frac{i^7}{42}+\frac{i^9}{216}-\cdots \right ) \approx -1.65\)
Rezultat je tako:
\(\displaystyle = -\frac{\sqrt\pi}{6}\left ( 3i\mathrm{~erf}(3i) + \frac{e^9}{\sqrt\pi} - \frac{1}{\sqrt\pi} \right )\) \(\displaystyle +\frac{\sqrt\pi}{2}\left ( i\mathrm{~erf}(i) + \frac{e}{\sqrt\pi} - \frac{1}{\sqrt\pi} \right )\) \(\displaystyle = -\frac{\sqrt\pi}{6}\left ( -4890 + \frac{e^9}{\sqrt\pi} - \frac{1}{\sqrt\pi} \right )\) \(\displaystyle +\frac{\sqrt\pi}{2}\left (-1.65 + \frac{e}{\sqrt\pi} - \frac{1}{\sqrt\pi} \right )\)
\(\displaystyle = \sqrt\pi \left (\frac{4890}{6}- \frac{1.65}{2} \right ) + \frac{e}{2}-\frac{e^9}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2} \approx 93.60\).
\(\displaystyle \int_0^1 \left [ \int_y^{3y} e^{x^2} dx \right ] dy\).
Najprej rešujemo notranjega, v katerem najprej prepoznamo razliko:
\(\displaystyle \int_y^{3y} e^{x^2} dx = \int_0^{3y} e^{x^2} dx - \int_0^y e^{x^2} dx\).
Od prej (prejšnji post) vemo:
\(\displaystyle \int_0^y e^{x^2} dx = -i \int_0^{iy} e^{-t^2} dt = -\frac{i\sqrt\pi}{2}\mathrm{erf}(iy)\)
in podobno:
\(\displaystyle \int_0^{3y} e^{x^2} dx = -i \int_0^{3iy} e^{-t^2} dt = -\frac{i\sqrt\pi}{2}\mathrm{erf}(3iy)\).
Notranji integral je tako:
\(\displaystyle \int_y^{3y} e^{x^2} dx = \int_0^{3y} e^{x^2} dx - \int_0^y e^{x^2} dx = -\frac{i\sqrt\pi}{2}(\mathrm{erf}(3iy)-\mathrm{erf}(iy))\),
zunanji (celotni) pa:
\(\displaystyle -\frac{i\sqrt\pi}{2} \int_0^1 \left [\mathrm{erf}(3iy)-\mathrm{erf}(iy) \right ] dy\).
Sedaj ne preostane drugega, kot da ga rešimo, kar pomeni, da moramo rešiti ali poznati:
\(\displaystyle \int \mathrm{erf}(z) dz\).
Tega se lahko lotimo per partes, ampak s tem bi samo izumljali toplo vodo, kajti ta integral je v splošnem znan rezultat, glej npr. tukaj:
\(\displaystyle \int \mathrm{erf}(z) dz = z\mathrm{~erf}(z) + \frac{e^{-z^2}}{\sqrt\pi}+C\).
Tako je zunanji integral enak:
\(\displaystyle -\frac{i\sqrt\pi}{2} \left ( \int_0^1 \mathrm{erf}(3iy) dy- \int_0^1 \mathrm{erf}(iy) dy \right )=\) \(\displaystyle -\frac{\sqrt\pi}{6} \int_0^{3i} \mathrm{erf}(z) dz +\frac{\sqrt\pi}{2} \int_0^{i} \mathrm{erf}(z) dz =\)
\(\displaystyle = -\frac{\sqrt\pi}{6}\left [ z\mathrm{~erf}(z) + \frac{e^{-z^2}}{\sqrt\pi} \right]_0^{3i}\) \(\displaystyle +\frac{\sqrt\pi}{2}\left [ z\mathrm{~erf}(z) + \frac{e^{-z^2}}{\sqrt\pi} \right]_0^{i}\)
\(\displaystyle = -\frac{\sqrt\pi}{6}\left ( 3i\mathrm{~erf}(3i) + \frac{e^{-(3i)^2}}{\sqrt\pi} - 0 - \frac{1}{\sqrt\pi} \right )\) \(\displaystyle +\frac{\sqrt\pi}{2}\left ( i\mathrm{~erf}(i) + \frac{e^{-i^2}}{\sqrt\pi} - 0 - \frac{1}{\sqrt\pi} \right )\)
\(\displaystyle = -\frac{\sqrt\pi}{6}\left ( 3i\mathrm{~erf}(3i) + \frac{e^9}{\sqrt\pi} - \frac{1}{\sqrt\pi} \right )\) \(\displaystyle +\frac{\sqrt\pi}{2}\left ( i\mathrm{~erf}(i) + \frac{e}{\sqrt\pi} - \frac{1}{\sqrt\pi} \right )\)
Če sedaj spet uporabimo razvoj \(\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt\pi} \left (z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}-\cdots \right )\), dobimo:
\(\displaysytle 3i\mathrm{~erf}(3i)=\frac{2 \cdot 3i}{\sqrt\pi} \left (3i -\frac{(3i)^3}{3}+\frac{(3i)^5}{10}-\frac{(3i)^7}{42}+\frac{(3i)^9}{216}-\cdots \right ) \approx -4890\)
(tu je za doseganje konvergence na prvi decimalki treba vzeti vsaj 20 členov)
in
\(\displaysytle i\mathrm{~erf}(i)=\frac{2 \cdot i}{\sqrt\pi} \left (i -\frac{i^3}{3}+\frac{i^5}{10}-\frac{i^7}{42}+\frac{i^9}{216}-\cdots \right ) \approx -1.65\)
Rezultat je tako:
\(\displaystyle = -\frac{\sqrt\pi}{6}\left ( 3i\mathrm{~erf}(3i) + \frac{e^9}{\sqrt\pi} - \frac{1}{\sqrt\pi} \right )\) \(\displaystyle +\frac{\sqrt\pi}{2}\left ( i\mathrm{~erf}(i) + \frac{e}{\sqrt\pi} - \frac{1}{\sqrt\pi} \right )\) \(\displaystyle = -\frac{\sqrt\pi}{6}\left ( -4890 + \frac{e^9}{\sqrt\pi} - \frac{1}{\sqrt\pi} \right )\) \(\displaystyle +\frac{\sqrt\pi}{2}\left (-1.65 + \frac{e}{\sqrt\pi} - \frac{1}{\sqrt\pi} \right )\)
\(\displaystyle = \sqrt\pi \left (\frac{4890}{6}- \frac{1.65}{2} \right ) + \frac{e}{2}-\frac{e^9}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{2} \approx 93.60\).
Re: Integrali
Pozdravljeni, mam en problem z spodnjo nalogo, pa me zanima če bi lahko kdo lepo prosim postopek nakazal/napisal. Hvala 
Polnovalno usmerjeno napestot določa izraz
\(u(t) = 45(sin(wt)- |sin(wt)|)V\)
Trditev: efektivna vrednost napetosti je 45 V
Polnovalno usmerjeno napestot določa izraz
\(u(t) = 45(sin(wt)- |sin(wt)|)V\)
Trditev: efektivna vrednost napetosti je 45 V
Re: Integrali
Kako bi rešila pa ta integral? Sem poskušala z novo spremenljivko, pa mi ni uspelo...
\(\int_{0}^{1}1/(1+x)sqrt{(1-x)/(1+x)}\)
\(\int_{0}^{1}1/(1+x)sqrt{(1-x)/(1+x)}\)
Re: Integrali
Kje je zdej ta koren in kaj vse je pod korenom?
Re: Integrali
Lep pozdrav!
Upam, da lahko kar tukaj vprašam...
Torej, pri nalogi:
Izračunaj obseg lika, ki ga omejujeta krivulja \(y^{2} = 2x + 2y - 2\) in premica \(y=x-1\)...
Najprej sem pogledal, kje se sekata, dobil da je to pri x=1 ter x=5, preveril tudi na WAhttp://www4c.wolframalpha.com/Calculate ... ngeControl...
Torej, dolžino premice dobim, dolžino krivulje pa predvidevam da bi moral po formuli: \(l=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2)} dx\)
No, glede na to kako moja krivulja izgleda, bi se rad samo prepričal če bo mi ta formula dala željeno dolžino...
Drugi problem: Reši integral:
\(\int_{4}^{5}\frac{dx}{1+\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}\)
Sem poskušal racionalizirat z \(1+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\), dobil 2 lepa člena, ter tretjega: \(\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}\), ki pač pride po racionalizaciji \(\frac{\sqrt{x^{2}+x}}{x}\)
Bi moral ubrati kakšen drug postopek? Je kakšna fora tudi glede teg 4/5 mej? Hvala za odgovore
Upam, da lahko kar tukaj vprašam...
Torej, pri nalogi:
Izračunaj obseg lika, ki ga omejujeta krivulja \(y^{2} = 2x + 2y - 2\) in premica \(y=x-1\)...
Najprej sem pogledal, kje se sekata, dobil da je to pri x=1 ter x=5, preveril tudi na WAhttp://www4c.wolframalpha.com/Calculate ... ngeControl...
Torej, dolžino premice dobim, dolžino krivulje pa predvidevam da bi moral po formuli: \(l=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2)} dx\)
No, glede na to kako moja krivulja izgleda, bi se rad samo prepričal če bo mi ta formula dala željeno dolžino...
Drugi problem: Reši integral:
\(\int_{4}^{5}\frac{dx}{1+\sqrt{x}-\sqrt{x+1}}\)
Sem poskušal racionalizirat z \(1+\sqrt{x}+\sqrt{x+1}\), dobil 2 lepa člena, ter tretjega: \(\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}\), ki pač pride po racionalizaciji \(\frac{\sqrt{x^{2}+x}}{x}\)
Bi moral ubrati kakšen drug postopek? Je kakšna fora tudi glede teg 4/5 mej? Hvala za odgovore
Re: Integrali
Torej, ker iz nekega razloga ne morem urediti prejšnjega prispevka...
Sem rešil tisti integral, ne vem zakaj se nisem spomnil da bi samo t=x^2/x vstavil...
Hvala vseeno
Sem rešil tisti integral, ne vem zakaj se nisem spomnil da bi samo t=x^2/x vstavil...
Hvala vseeno
Re: Integrali
Prva: ja, tista formula je prava, ampak prvo krivuljo se ti splača zapisati v obliki \(x=g(y)\), saj imaš tako opravka s kvadratno funkcijo. Moraš edino paziti, da integriraš po y in da za meji uporabiš koordinati y presečišč.
Druga: Člena \(\sqrt{\frac{x+1}{x}}\) ni treba racionalizirati, pride pa seveda v poštev klasična substitucija \(t=\sqrt{\frac{x+1}{x}}\), s katero se integral iracionalne funkcije prevede na integral racionalne funkcije, ki se ga je treba spet lotiti s klasičnimi prijemi.
Druga: Člena \(\sqrt{\frac{x+1}{x}}\) ni treba racionalizirati, pride pa seveda v poštev klasična substitucija \(t=\sqrt{\frac{x+1}{x}}\), s katero se integral iracionalne funkcije prevede na integral racionalne funkcije, ki se ga je treba spet lotiti s klasičnimi prijemi.
Re: Integrali
Tu imaš na preprost način razloženo: http://www.mathmistakes.info/facts/Calc ... i/doi.htmlKimmy napisal/-a:Živjo.
Bi mi lahko kdo pomagal pri tej nalogi (vsaj za en primer)?