Matrike

O matematiki, številih, množicah in računih...
tjasya
Posts: 11
Joined: 9.8.2010 19:45

Re: Matrike

Post by tjasya » 22.5.2012 19:46

Živjo!
Zanima me če kdo ve kako se reši tako nalogo:
Izberi konstanto c tako, da bo matrika Q ortogonalna:
1 -1 -1 -1
-1 1 -1 -1
Q = c * [ -1 -1 1 -1 ]
-1 -1 -1 1

Hvala za odgovor!

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matrike

Post by Aniviller » 22.5.2012 21:06

Vrstice so itak ortogonalne ne glede na c. Ce pa pogledas stolpce, bodo pa sigurno ortogonalni, ce je c kar enak 1, ker v tem primeru so vrstice in stolpci enaki (matrika je simetricna). Velja kar \(Q^2=4I\) (ce matriko delis z 2 bo celo ortonormirana).

haklcc
Posts: 24
Joined: 14.5.2012 12:29

Re: Matrike

Post by haklcc » 24.5.2012 21:29

Kje sm ga polomil pri tej nalogi:
? :D
Image

Hvala za odgovor!

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matrike

Post by Aniviller » 24.5.2012 21:52

Sem na hitro preletel ampak izgleda ok.

haklcc
Posts: 24
Joined: 14.5.2012 12:29

Re: Matrike

Post by haklcc » 25.5.2012 11:30

A tisto je pravilno, kjer sm zadnjo vrstico množil z (-1/a -3) ? Pri gaussovi eliminaciji.
Bi lahko kako drugač 2 spremenil v 0 ?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matrike

Post by Aniviller » 25.5.2012 12:30

Hm... ja v bistvu res ni cisto prav, ker nisi pazil, da v primeru a=-6 ne smes mnozit z (a+6)/2 ker s tem celo vrstico mnozis z 0 (za vse ostalo je rezultat ok). Ce je a=-6, lahko le 3. in 4. vrstico zamenjas, tako da je sistem cisto lepo dolocen (determinanta ni 0). Samo -8/3 je tisti posebni primer.

sanej
Posts: 71
Joined: 25.8.2010 18:00

Re: Matrike

Post by sanej » 29.5.2012 18:24

živjo bi se kar tule uštulil!

imam matriko A =\(\[\begin{bmatrix} 2 & 3 & -4\\ -6 & -11 &13\\ 4 & 0 & -8 \end{bmatrix} \]\) Sedaj bi pa rad dobil U, ki je spodnje trikotna in L , ki je zgornje trikotna matrika?

z gausovo eliminacijo dobim U = \(\[\begin{bmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 0 & -2 & 1\\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix} \]\)

za L z gausom dobim čisto narobe \(\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ - 1/22 & 1 & 0\\ -1/2 & 0 &1 \end{bmatrix} \]\)

rešitev naj bi bila L = \(\[\begin{bmatrix} 1&0&0\\ -3 & 1 & 0\\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \]\)

Zdej me pa zanima kako se v splošnem izračuna zgornje trikotno matriko. tukaj zgleda kot da je prvi stolpec L = prvi stolpec A deljeno z 2 ?? Bi znal kdo razložiti ?
Najlepša hvala

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matrike

Post by Aniviller » 29.5.2012 19:20

No, enemu U-ju pripada samo en L, ne mores loceno racunat enega in drugega. Gre za razcep, in ko delas matriko U, izvajas neke operacije: te operacije so tiste, ki se na nek nacin sestavijo v matriko L. Poglej si podrobneje algoritem za LU razcep.

haklcc
Posts: 24
Joined: 14.5.2012 12:29

Re: Matrike

Post by haklcc » 6.6.2012 23:43

Lastne vrednosti in lastni vektorji:

Izračunam do sem:
\(\[\begin{bmatrix} -7 & 12 & -12\\ 0 & 2 &0\\ 6 & -9 & 11 \end{bmatrix} \].\)\(\[\begin{bmatrix} x1\\ x2\\ x3 \end{bmatrix} \]\)\(\[\begin{bmatrix} x1\\ x2\\ x3 \end{bmatrix} \]\)

Zanima me kako določim lastne vektorje.
Lastne vrednosti sem izračunal: λ1=2, λ2= -1 in λ3=5

To gor spremenim v enačbe, potem se pa ustav ko treba izrazit x,y,z.

Hvala za odgovor ! :D

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matrike

Post by Aniviller » 7.6.2012 11:50

namig: \lambda, x_1

Ja resis sistem enacb. Raje pisi
\((A-\lambda I)\vec{x}=0\)
ker iz tega je ocitno, da resujes homogen nedolocen sistem (z rangom = velikost matrike minus veckratnost lastne vrednosti), se pravi bo vsaj ena vrstica prevec in zato z eno koordinato izrazis vse ostale:

lastna vrednost 2
\(\begin{bmatrix}-9 & 12 & -12 \\
0 & 0 & 0\\
6&-9&9\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=0\)

Druge vrstice sploh ne bom pisal. Zadnjo enacbo lahko mnozis z -4/3
\(\begin{bmatrix}-9 & 12 & -12 \\
-8&12&-12\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=0\)

Iz odstevanja vrstic sledi \(x_1=0\) in ko to nazaj vstavis v katerokoli enacbo (recimo -9x1+12x2-12x3=0) dobis x2=x3. Lastni vektor je torej (0,1,1) (lahko ga se normiras, mnozis z -1 ali karkoli).

AlesSLO
Posts: 3
Joined: 11.6.2012 9:11

Re: Matrike

Post by AlesSLO » 11.6.2012 9:15

Zdravo. Imam problem pri reševanju ene naloge.

Imam matriko 3x3 in je potrebno rešiti enačbo.

x+2 x-1 x
x+4 x-7 x-3 = 0
x x+5 x-1

Hvala za pomoč.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matrike

Post by Aniviller » 11.6.2012 9:38

Cakaj... a matrika ima x v komponentah?. In v tej obliki tudi sicer ne vem kaj je misljeno - a isces kdaj je determinanta nic? Je to tole?
\(\begin{Vmatrix}
x+2&x-1&x\\
x+4&x-7&x-3\\
x&x+5&x-1
\end{Vmatrix}=0\)

AlesSLO
Posts: 3
Joined: 11.6.2012 9:11

Re: Matrike

Post by AlesSLO » 11.6.2012 12:40

Sem uploadal sliko naloge.

Image

3. naloga je to.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matrike

Post by Aniviller » 11.6.2012 12:44

Ja pri tretji je seveda misljena determinanta matrike (pazi tip okvirja matrike). Vidis tudi, da je desna stran kar skalar (0). Ker gre za determinanto, predlagam, da z odstevanjem ene vrstice od druge (to ne spremeni determinante) odpravis x v vseh razen v eni vrstici. S tem bo determinanta kar polinom prve stopnje v x, kar je lazje resljivo. Seveda ko to naredis, lahko s poenostavitvami se nadaljujes preden gres dejansko determinanto izracunat. Ali pa ce kar pogledas kdaj sta dve vrstici/stolpca linearno odvisna.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matrike

Post by Aniviller » 11.6.2012 19:57

Ni vazno katero odstevas od katere, bo ze nekaj prislo... recimo prvo od ostalih dveh. Glavno da gre x cim bolj stran.
\(\begin{vmatrix}x+2&x-1&x\\2&-6&-3\\-2&6&-1\end{vmatrix}=0\)
Ko si ravno pri tem delu lahko se drugo pristejes tretji. Vec nicel imas, boljse je.
\(\begin{vmatrix}x+2&x-1&x\\2&-6&-3\\0&0&-4\end{vmatrix}=0\)
Lahko bi nadaljevali s poenostavljanjem ampak nima smisla, ker ima determinanta zdaj samo se 2 nenicelna clena:
\((x+2)(-6)(-4)-(x-1)(2)(-4)=0\)
\(24(x+2)+8(x-1)=0\)
\(4x+5=0\)
\(x=-\frac{5}{4}\)

Post Reply