Kako naj se lotim naslednje naloge....
Operatorju A na prostoru vseh polinomov stopnje manjše ali enake 2 naj pripada v bazi \({{1,t,t^{2}}\) matrika:
\(\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}\)
Katera matrika mu pripada v bazi \({1+t,t+t^2,1+t^2}\)? Vidim, da je nova baza kombinacija stare, kako naj to uporabim?
Matrike
Re: Matrike
Transformiraj matriko v drugo bazo: \(PAP^{-1}\)
kjer je P prehodna matrika iz stare baze v novo bazo, P^-1 pa prehodna matrika iz nove v staro. Glede na podatke premisli, katero izmed teh dveh lahko direktno zapises in za katero moras racunat inverz.
kjer je P prehodna matrika iz stare baze v novo bazo, P^-1 pa prehodna matrika iz nove v staro. Glede na podatke premisli, katero izmed teh dveh lahko direktno zapises in za katero moras racunat inverz.
Re: Matrike
Kako dobim prehodno matriko P iz stare v novo bazo?
Re: Matrike
Ja takole:
\(P^{-1}=\begin{bmatrix}
1&0&1\\
1&1&0\\
0&1&1\end{bmatrix}\)
Recimo da v oglatih oklepajih pises polinome v navadnih pa komponente po bazi. Potem se
vektor (1,0,0) preslika v (1,1,0)[1+t]
vektro (0,1,0) se preslika v (0,1,1)[t+t^2]
in vektor (0,0,1) se preslika v (1,0,1)[1+t^2]
Torej, ce imas vektor podan v novi bazi, tole spravi v staro bazo (torej je to P^-1). Potem uporabis A v stari bazi in mnozis nazaj s P, da spravis v novo bazo.
\(P^{-1}=\begin{bmatrix}
1&0&1\\
1&1&0\\
0&1&1\end{bmatrix}\)
Recimo da v oglatih oklepajih pises polinome v navadnih pa komponente po bazi. Potem se
vektor (1,0,0) preslika v (1,1,0)[1+t]
vektro (0,1,0) se preslika v (0,1,1)[t+t^2]
in vektor (0,0,1) se preslika v (1,0,1)[1+t^2]
Torej, ce imas vektor podan v novi bazi, tole spravi v staro bazo (torej je to P^-1). Potem uporabis A v stari bazi in mnozis nazaj s P, da spravis v novo bazo.
Re: Matrike
Hvala, torej izračunam še \(P\), ki je inverz od\(P^{-1}\) in potem zmnožim \(PAP^{-1}\), da dobim matriko v novi bazi?
Re: Matrike
Hvala za pomoč, da sem uspel nalogo rešiti....zanima me samo, zakaj so pri matriki \(P^{-1}\) novi bazni vektorji v stari bazi zapisani kot stolpci in ne kot vrstice?
Re: Matrike
Ja to hitro preveris. Ce hoces, da po mnozenju z vektorjem (1,0,0) (prvi bazni vektor, izrazen v novi bazi) dobis (1+t), morajo bit v stolpcih.
Re: Matrike
Aniviller, spet prosim za mal pomoči:D
A naj bo hermitska matrika, U pa unitarna.....dokaži, da ima matrika \(B=UAU^{H}\) diagonalne elemente realne?
A naj bo hermitska matrika, U pa unitarna.....dokaži, da ima matrika \(B=UAU^{H}\) diagonalne elemente realne?
Re: Matrike
\(B^H=UA^H U^H=UAU^H=B\)
Torej je B tudi hermitska, se pravi ima diagonalne elemente realne.
Torej je B tudi hermitska, se pravi ima diagonalne elemente realne.
Re: Matrike
Hvala...kako se nism mogu tega spomnt 
Re: Matrike
še ena iz endomorfizmov.....
Naj bo A:V->V endomorfizem....
Dokaži: če so {A*v,A^2*v,A^3*v,.......A^n*v} linearno odvisni, je A obrnljiva in minimalni polinom je stopnje n.
Naj bo A:V->V endomorfizem....
Dokaži: če so {A*v,A^2*v,A^3*v,.......A^n*v} linearno odvisni, je A obrnljiva in minimalni polinom je stopnje n.
Re: Matrike
Hm.... linearno odvisnost lahko zapises kot dejstvo, da obstajajo a_n, za katere je linearna kombinacija = 0, kar ti ravno da nek polinom v A-ju. Nisem pa preprican, ce je naloga zadovoljivo zastavljena. Linearno odvisni so namrec tudi, ce je A=0...
Re: Matrike
jaz bi sam hit vprasov če sm pravilno naredu? (je matrična enačba)
AX=B^T-2A+X
AX-X=B^T-2A
X(A-I)=B^T-2A
hvala za odgovor
AX=B^T-2A+X
AX-X=B^T-2A
X(A-I)=B^T-2A
hvala za odgovor
Re: Matrike
Zadnjio korak je narobe, izpostavit moras z leve (matrike niso v splosnem komutativne). Pravilno je torej
(A-I)X=B^T-2A
X=(A-I)^-1 (B^T-2A)
(A-I)X=B^T-2A
X=(A-I)^-1 (B^T-2A)