Kvarkadabra forum

Hvala za razlago in pomoč.

Nikakor ne morem pogruntati te naloge:

Določite realni števili a in b, da bo 2 dvojna lastna vrednost matrike.
Izračunajte še tretjo lastno vrednost in pripadajoči lastni vektro.

A=\(\[\begin{bmatrix} 1 & 0 & a\\ -1 & 2 &0\\ 1 & b & 1 \end{bmatrix} \]\)

Zanima me samo tist prvi del (določitev a in b)

No to je enostavno, samo poracunas karakteristicni polinom in zahtevas, da vsebuje faktor (x-2)^2

Karakteristicni polinom pride
\((1-\lambda)(2-\lambda)(1-\lambda)-ab-a(2-\lambda)\)
Zahtevas pa, da to pride
\(-(\lambda-2)^2(\lambda-y)\)
kjer je y neznana tretja lastna vrednost. To dvoje lahko zdaj kar izenacis in dobis vse neznanke.

Še zdaj ne znam dobit vn a in b

Ja ta polinom sem dobil. Če to tvoje izenačim ne znam poračunat te klobase ali pa narobe delam...

Moglo bi jit tut tko:
\((1-\lambda)(2-\lambda)(1-\lambda)-ab-a(2-\lambda)\)

Jaz sem v to enačbo vstavu lambda=2
in dobim
ab=0
Kolk je potem a in kolk b ?

No ce hoces da sta polinoma enaka, se morata ujemat v vseh koeficientih. Vodilni clen sva itak nastavila tako, da stima (polinom lahko pomnozis s poljubno konstanto pa ima iste nicle).

\((1-2\lambda+\lambda^2)(2-\lambda)-ab-a(2-\lambda)=-(\lambda^2-4\lambda+4)(\lambda-y)\)
postopoma mnozim ker nimam papirja ali pametnega programa pri roki...
\(2-\lambda-4\lambda+2\lambda^2+2\lambda^2-\lambda^3-ab-2a+\lambda a\)\(=-\lambda^3+y\lambda^2+4\lambda^2-4\lambda y-4\lambda+4y\)

\(-\lambda^3+4\lambda^2+(-5+a)\lambda+(2-ab-2a)\)\(=-\lambda^3+(y+4)\lambda^2+(-4y-4)\lambda+4y\)

Kvadratni cleni: \(4=y+4\), torej je y=0. Linearni cleni: \(-5+a=-4y-4\), od koder a=1. Prosti clen: \(2-ab-2a=4y\), se pravi b=0.

Odgovor na vprasanje je torej a=1, b=0, dobljena matrika pa ima lastne vrednosti 2,2,0.

Ahaa hvala !!

lastna vrednost 2
\(\begin{bmatrix}-1 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0\\
1&0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=0\)

-x1+x3=0
-x1=0
x1-x3=0

x3=x1
x1=0
x1=x3

Torej je lastni vektor (1,0,1) ? sam to se ne izide če preverim :/

Pa saj si dobil da je x1=0, torej sta x1 in x3=0, x2 pa je parameter (vsako realno število). Torej je lastni vektor x2* [0 1 0]

Aha. Hvala.
Kaj pa ko je lambda=0

x1+x3=0
-1x+x2=0
x1+x3=0

ma ne morm pogruntat teh lastnih vektorju. Karkol sm probal se ne izide

Ne zmotil sem se pri prejšnji (ven iz forme). Pri lambda=2 si že prav izračunal in očitno tej lastni vrednosti ne pripada noben lastni vektor. Saj že v vprašanju je mišljen izračun lastnega vektorja za tretjo lastno vrednost torej lambda=0. Tukaj pa dubiš po hitri Gaussovi eliminaciji da je x3 parameter in izraziš vse ostale z x3 torej: x1=-x3, x2=(-1/2) x3 torej je lastni vektor x3*[-1 (-1/2) 1].

Vsaka lastna vrednost ima vsaj en lastni vektor.

lastna vrednost 2:
\(\begin{bmatrix}-1&0&1\\-1&0&0\\1&0&-1\end{bmatrix}\)
To res pomeni x1=0 in x1=x3, torej je pravilen lastni vektor (0,1,0). To je bilo ok. Je pa res ocitno edini.

Za lastno vrednost 0:
\(\begin{bmatrix}1&0&1\\-1&2&0\\1&0&1\end{bmatrix}\)
x1=-x3 in x1=2x2
Postavis recimo x2=1 in dobis lastni vektor (2,1,-2).

Določite realna parametra a in b tako, da bo: v=\(\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix}\)
lastni vektor matrike \(\begin{bmatrix}a&-2&-2\\1&b&-1\\-3&1&2\end{bmatrix}\)
Kateri lastni vrednosti pripada? Poiščite še preostali lastni vrednosti in lastna vektorja.

Kako določim a in b ?

Najlazje je kar pomnozit vektor z matriko in pogledat, kdaj je rezultat sorazmeren z originalnim vektorjem. Dobis 3 enacbe (komponente vektorja) in 3 neznanke (a,b, in lastna vrednost - faktor, za katerega se vektor podaljsa).

\(\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix}a&-2&-2\\1&b&-1\\-3&1&2\end{bmatrix}\)=\(\begin{bmatrix}a&-2&4\\1&b&2\\-3&1&-4\end{bmatrix}\)

\(\begin{bmatrix}a&-2&4\\1&b&2\\-3&1&-4\end{bmatrix}\)=\(\lambda\)\(\begin{bmatrix}1\\1\\-2\end{bmatrix}\)

Po kakšnem postopku pa naprej ?


Probal sem vse možno sam mi ne rata...

To je ker ne znas mnozit vektorja in matrike. Matrika*vektor=vektor

\(ax-2y+4z=\lambda x\)
\(x+by+2z=\lambda y\)
\(-3x+y-4z=-2 \lambda z\)

K ni to prov ?