Kvarkadabra forum

Tnx!

Naj bo A = {{1,1},{1,-1}} in V množica vseh matrik, ki zadoščajo pogoju
det (A+X) = det(A) + det(X).

Dokaži, da je V vektorski prostor in zapiši kakšno njegovo bazo.
Poišči kakšno matriko \(A_{0}\), da lahko vsako matriko X reda 2 x 2 zapišemo v obliki \(X = \alpha A_{0} + X_{0}\), kjer je \(\alpha \is R, X_{0} \is V\).

\(A_{0}\) meni pride {{0,0},{0,1}}?

Nekaj študiram o tem, samo mi ne gre v račun tale A. Ali si prav zapisal? Da bi imela dva vektorja kaj v determinanti mislim da ni možno.

Aja, matrika je. No bom še enkrat poskusil.

Za tisto, če je vektorski prostor moraš preveriti cirka osem aksiomov upoštevši seveda dani pogoj. To se mi ne ljubi. Drugače pa se vidi, da je matrika X dimenzije 2x2, ker drugače ne moreš izračunati determinante. Če daš matriki X recimo neke štiri elemente, recimo {{a,b},{c,d}} in vstaviš v enačbo, dobiš, da mora biti a+b+c-d=0. Se pravi da so trije parametri nedovisni, tretji je pa odvisen. Od tod recimo vzameš sledečo bazo {{1,0},{0,1}}, {{0,1},{0,1}} in {{0,0},{1,1}}. Mislim, da te tri matrike sestavljajo bazo V-ja.

Dela b pa ne razumem.[/tex]

Ni treba preverjati 8 aksiomov za VP, ampak le tri za podprostor, torej, da je množica aditivna, homogena in vsebuje ničelno matriko.

Se strinjam. Čeprav problem niti ne privzema, da je prostor matrik vektorski prostor. Če še privzameš, da to vsi vemo, potem je pa res veliko lažje samo tiste tri postavke preveriti.

Ne preverjaš ali je podprostor, temveč preverjaš ali je vektorski prostor sploh - torej, preveriš štiri aksiome (no, ponavadi so zadosti prvi trije):
- a×(V + U) = a×V + a×U
- (a + b)×V = a×V + b×V
- a×(b×V) = (a×b)×V
- 1×V = V
, kjer so V in U vektorji, a in b skalarji, × je množenje s skalarjem, + je seštevanje.
Ostali štirje so izpeljani, torej niso aksiomi.

Kateri štirje so izpeljani?

Mephisto: Zakaj uporabljaš znak "x"? Spominja na vektorski produkt.

Sem že videl tudi hujše oznake za množenje. Vseeno pa se ne strinjam, da so štirje aksiomi izpeljani.

Glede oznak se opravičujem, vendar sem hotel poudariti da gre za množenje.

Glede aksiomov pa si poglej tale kratek pregled Algebre I od prof. Borisa Lavriča - http://www.fmf.uni-lj.si/~lavric/algebra1-pregled.pdf. Tile:
- v * 0 = 0 - v je vektor
- a * 0 = 0 - a je skalar
- a * v = 0, potem je ali a=0 ali v=0 - a skalar, v vektor
- še eden, ki se ga ne spomnem
pa so posledice - se dajo lepo dokazati. Sicer se mi vseh dokazov ne da pisati sem, pa naj bo za prvega (vem, moram se TeX navadit uporabljat ):

v * 0 = v * (0 + 0) = v * 0 + v * 0 => v * 0 = 0 ; namreč iz zadnjega dela en v * 0 nesemo na drugo stran, da se odšteje z onim iz prvega dela. Dokaz za a * 0 = 0 je identičen.

Potem se očitno strinjava. Ključna beseda v teh zapiskih je Abelova grupa (4 postavke).
Kar si napisal niso aksiomu, so res izpeljanke.

Mephisto, pri takih nalogah se običajno pričakuje, da boš sam opazil, da gre za podmnožico v znanem vektorskem podprostoru (2x2 matrike z običajnim seštevanjem matrik in množenjem matrike in skalarja). Tedaj zadošča le dokazati, da zadošča aksiomom za vektorski podprostor.

Močno dvomim da nekaj kar privzemaš. Potem "od oka" privzameš še da je v. podprostor in imaš rešeno nalogo Ponavadi se naloge, pri katerih gledaš ali so neki prostori podprostori nekih drugih, glasijo nekako takole; imamo X prostor, dokaži da je prostor Y njegov podprostor.
In itak, kje je razlika pogledat tri aksiome, ali pa pogledati zaprtost za seštevanje, zaprtost za množenje s skalarjem, ter če vsebuje ničelni element?

Mephisto napisal/-a:Močno dvomim da nekaj kar privzemaš. Potem "od oka" privzameš še da je v. podprostor in imaš rešeno nalogo Ponavadi se naloge, pri katerih gledaš ali so neki prostori podprostori nekih drugih, glasijo nekako takole; imamo X prostor, dokaži da je prostor Y njegov podprostor.
In itak, kje je razlika pogledat tri aksiome, ali pa pogledati zaprtost za seštevanje, zaprtost za množenje s skalarjem, ter če vsebuje ničelni element?

No, jaz bi od svojih študentov pričakoval tako rešitev, saj morajo vedeti, da so nxm matrike z običajnimi operacijami vektorski prostor. In mislim, da bi jo tudi tebi priznal tvoj asistent - kar vprašaj ga.

Tvojega zadnjega stavka pa ne razumem. Saj to kar si naštel, so ravno trije aksiomi (aditivnost, homogenost in vsebovanje 0).