Skalarni produkt

O matematiki, številih, množicah in računih...
User avatar
=)
Posts: 444
Joined: 18.7.2004 22:28

Re: Skalarni produkt

Post by =) » 13.6.2009 23:00

imam eno butasto vprašanje... :wink:

kaj je skalarni produkt? Kako si ga vi predstavljate...?

iščem nekaj podobnega kot za vektorski produkt, ki je po velikosti enak ploščini paralelograma, ki ga napenjata vektorja, kaže pa v smeri, ki je pravokotna na napeti paralelogram.
ali pa mešani produkt, ki je število enako volumnu napetega paralelepipeda.

no, eno predstavo imam...vendar je kar komplicirana, bi rada preprostejšo :D
skalarni produkt je število, ki je enako volumnu kvadra z osnovno ploskvijo dolžin vektorjev a in b, ter višino. Višina je enaka projekciji enotskega vektorja v smeri b na enotski vektor v smeri a (ali obratno).
upam, da ima kdo kakšno boljšo idejo... :P

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Skalarni produkt

Post by Aniviller » 13.6.2009 23:10

Skalarni produkt je komponenta enega vektorja v smeri drugega (projekcija na dani vektor). Vse skupaj je se pomnozeno z dolzino vektorja, na katerega projeciras (stvar je simetricna ni vazno katerega smatras za osnovo). Najbolj ocitno je to pri dolocanju komponent s skalarnim mnozenjem z baznimi vektorji:
\(a_x=\vec{a}\cdot\vec{e}_x\)

User avatar
=)
Posts: 444
Joined: 18.7.2004 22:28

Re: Skalarni produkt

Post by =) » 14.6.2009 0:46

:P aja, sej res...ne vem, kako da nisem na to pomislila... :roll:
:lol: :lol: :lol:
mille grazie :D

sanej
Posts: 71
Joined: 25.8.2010 18:00

Re: Skalarni produkt

Post by sanej » 28.8.2010 18:39

Naj bo \(V=p\in \mathbb{R}_3[x]; p(0)=0}\). Na V definirajmo skalarni produkt s predpisom

\(<p,q>=\int_{0}^{1}\[p'(x) q'(x) dx\)

Poišči kakšen skalarni produkt [ , ] na prostoru \(\mathbb{R}_3[x]\), za katerega velja \([p,q] = <p,q>\) za vsaka \(p,q \in V\).

A bi kdo znal razložiti kako se to reši?

Pa še nekaj. Točka C pa pravi: Poišči kakšno ortonormirano bazo prostora V glede na
skalarni produkt < , >.

Kakšno bazo izbereš za začetek ortonormiranja (ponavadi je \({1,x,x^2,x^3}\)), tukaj pa zaradi pogoja \(V=p\in \mathbb{R}_3[x]; p(0)=0}\) ne more biti prvi vektor 1, saj, če ga vstaviš v polinom, potem to ni enako nič. Ali se že preveč dolgo časa učim in se mi že malo meša?

sanej
Posts: 71
Joined: 25.8.2010 18:00

Re: Skalarni produkt

Post by sanej » 28.8.2010 19:11

No, pa če lahko nekdo lepo prosim še razloži osnovni postopek reševanja točke D, saj tudi tega ne razumem.

Linearen funkcional \(f: V -> \mathbb{R}\) je podan s predpisom
\(f(p) = p(1)\). Poišči \(q \in V\), tako da bo \(f(p) = <p, q>\) za vsak \(p \in V\).

Najlepša hvala!

fmf
Posts: 210
Joined: 28.6.2012 16:02

Re: Skalarni produkt

Post by fmf » 30.1.2013 13:31

Kaj pa tale?
V \(\mathbb{R}^{n}\) imejmo običajni skalarni produkt. Naj bo \(w\) vektor dolžine 1. Dokaži, da je matrika \(P=I-2ww^{T}\) zrcaljenje preko \(w^{T}\)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Skalarni produkt

Post by Aniviller » 30.1.2013 14:20

Dokazat moras, da se projekcija na w obrne, vse ostale komponente pa ostanejo enake. Recimo, da imas vektor x. Njegova komponenta v smeri w je
\(\vec{w}(wx)\)
Ce ga pa pomnozis s to matriko in potem izracunas projekcijo:
\((I-2ww^T)\vec{x}=\vec{x}-2\vec{w}(wx)\)
komponenta:
\(\vec{w}(\vec{w}\cdot (\vec{x}-2\vec{w}(wx)))=-\vec{w}(wx)\)
Po drugi strani, recimo da imas KATERIKOLI drug enotski vektor z, pravokoten na w. Potem velja
\(\vec{z}(\vec{z}\cdot(\vec{x}-2\vec{w}(wx)))=\vec{z}(zx)\)
kar je nespremenjeno od projekcije pred uporabo matrike. Vmes sem uporabil z*w=0 zaradi pravokotnosti.

Matrika torej obrne komponento v smeri w in ohranja vse ostale.

fmf
Posts: 210
Joined: 28.6.2012 16:02

Re: Skalarni produkt

Post by fmf » 30.1.2013 14:32

Hvala...koliko je pa determinanta matrike P?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Skalarni produkt

Post by Aniviller » 30.1.2013 14:36

-1 seveda. V lastnem koordinatnem sistemu namrec eno komponento mnozi z -1, ostale pa z 1 (lastne vrednosti so -1,1,1,1,1...).

fmf
Posts: 210
Joined: 28.6.2012 16:02

Re: Skalarni produkt

Post by fmf » 30.1.2013 14:45

Ok, tnx....pri prvem delu mi je bolj malo jasno:). Projekcija na w se obrne, ker zrcalimo čez \(w^{T}\)..to si predstavljam, da je podobno kot zrcaljenje čez ravnino kjer se normala obrne....naprej mi pa res ni jasno...\(\vec w (wx)\) zakaj tukaj dvakrat nastopa w?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Skalarni produkt

Post by Aniviller » 30.1.2013 14:47

Ce hoces komponento v smeri w OBRNIT, jo moras odstet dvakrat. Ce jo odstejes samo enkrat, potem si samo ubil to komponento in naredil projekcijo na ravnino, pravokotno na w. Ze na realni osi ves, da ce hoces slikat iz x v -x, moras odstet 2x :)

Zakaj v izrazu nastopa dvakrat? Ja to je pa standardna formula za projekcijo. (w*x) ti da komponento v smeri w (vrne stevilko). w(w*x) je pa VEKTOR pravokotne projekcije x na w (in ima smer w). V principu bi za testiranje obracanja komponente v smeri w res rabil samo komponento, ne celega vektorja, ker w pasivno stoji zunaj in ne dela nic. V resnici je vseeno :)

fmf
Posts: 210
Joined: 28.6.2012 16:02

Re: Skalarni produkt

Post by fmf » 30.1.2013 14:54

Ok, mi je malo jasno....kako dobimo pa \(\vec {w}(\vec w(\vec -2 \vec w(w x)))=-\vec w(wx)\). Še nekaj.... zakaj je enx w kot vektor, enkrat pa w kot skalar?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Skalarni produkt

Post by Aniviller » 30.1.2013 15:04

Ker se mi ne da pisat vektorskih znakov povsod :)

Pa poglejva zdaj samo komponento, brez dodatnega w spredaj:
\(\vec{w}\cdot(\vec{x}-2\vec{w}(\vec{w}\cdot \vec{x}))\)\(=\vec{w}\cdot \vec{x}-2(\vec{w}\cdot\vec{w})(\vec{w}\cdot\vec{x})\)
V drugem clenu nastopa |w|^2=1 in dobis
\(=-\vec{w}\cdot \vec{x}\)

fmf
Posts: 210
Joined: 28.6.2012 16:02

Re: Skalarni produkt

Post by fmf » 24.6.2013 22:11

Prosim za malo pomoči....

V prostoru \(\mathbb{R}^2\) je dan skalarni produkt

\(\left \langle \begin{bmatrix}
x_1\\[0.3em]
x_2\\[0.3em]
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
y_1\\[0.3em]
y_2\\[0.3em]
\end{bmatrix} \right \rangle\)
.

Ali je matrika \(A=\begin{bmatrix}
1&1\\[0.3em]
2&1\\[0.3em]
\end{bmatrix}\)
v tem skalarnem produktu sebi adjungirana, ali je ortogonalna, ali je normalna?

Si najprej izberem ONB iz pravokotnih lastnih vektorjev(2 vektorja, katerih podani skalarni produkt je 0 in jih normiram)?
Ali je matrika A v standardni bazi?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Skalarni produkt

Post by Aniviller » 24.6.2013 23:13

Ja to si ze nekajkrat vprasal... ni mi jasno kaj naloga hoce. Skalarni produkt ni nic konkretnega, pac nek skalarni produkt v splosnem (sploh ne vem zakaj bi bil izpisan). Tudi ne mene sprasevat v kaksni bazi je misljena matrika A.

Post Reply