x_1\\[0.3em]
x_2\\[0.3em]
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
y_1\\[0.3em]
y_2\\[0.3em]
\end{bmatrix} \right \rangle =2x_1 y_1 +x_2 y_2\)
Takole je mišljen skalarni produkt...pozabil sem to izpisat
Skalarni produkt
Re: Skalarni produkt
\(\left \langle \begin{bmatrix}
x_1\\[0.3em]
x_2\\[0.3em]
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
y_1\\[0.3em]
y_2\\[0.3em]
\end{bmatrix} \right \rangle =2x_1 y_1 +x_2 y_2\)
Takole je mišljen skalarni produkt...pozabil sem to izpisat
x_1\\[0.3em]
x_2\\[0.3em]
\end{bmatrix},\begin{bmatrix}
y_1\\[0.3em]
y_2\\[0.3em]
\end{bmatrix} \right \rangle =2x_1 y_1 +x_2 y_2\)
Takole je mišljen skalarni produkt...pozabil sem to izpisat
Re: Skalarni produkt
Aha ok to je pa ze bolje
Ja vse kar moras pogledat je, ali drzi
\(\langle \vec{x},A\vec{y}\rangle=\langle A\vec{x},\vec{y}\rangle\)
In to lahko naredis na vec nacinov. Lahko enostavno vstavis v izraz za skalarni produkt (to je v 2D skrajno enostavno). Lahko pa tudi prevedes ta skalarni produkt na standardnega (preko bilinearne forme, \(\langle x,y\rangle=xMy\) kjer je M=diag(2,1)) in v standardnem je sebi adjungiranost isto kot simetricnost.
Za normalnost je podobno, veljat mora AA*=A*A in A* lahko izracunas (ce je A=A* je itak izpolnjeno, sicer pa naprej vidis).
Za ortogonalnost moras preverit, ali ohranja dolzino: <Ax,Ax>=<x,x> in ortogonalnost: <x,y>=0 -> <Ax,Ay>=0.
Ja vse kar moras pogledat je, ali drzi
\(\langle \vec{x},A\vec{y}\rangle=\langle A\vec{x},\vec{y}\rangle\)
In to lahko naredis na vec nacinov. Lahko enostavno vstavis v izraz za skalarni produkt (to je v 2D skrajno enostavno). Lahko pa tudi prevedes ta skalarni produkt na standardnega (preko bilinearne forme, \(\langle x,y\rangle=xMy\) kjer je M=diag(2,1)) in v standardnem je sebi adjungiranost isto kot simetricnost.
Za normalnost je podobno, veljat mora AA*=A*A in A* lahko izracunas (ce je A=A* je itak izpolnjeno, sicer pa naprej vidis).
Za ortogonalnost moras preverit, ali ohranja dolzino: <Ax,Ax>=<x,x> in ortogonalnost: <x,y>=0 -> <Ax,Ay>=0.
Re: Skalarni produkt
Eno vprašanje bi imel glede jordanske forme...kako je najlažje določiti prehodno matriko?
Kjer se dim(A-lambdaI) začnejo ponavljati (A-lambdaI)^n=0, tam poiščemo korenski vektor reda n? (A-lambdaI)^n=0 in hkrati(A-lambdaI)^n-1 ni enako 0
Kjer se dim(A-lambdaI) začnejo ponavljati (A-lambdaI)^n=0, tam poiščemo korenski vektor reda n? (A-lambdaI)^n=0 in hkrati(A-lambdaI)^n-1 ni enako 0
Re: Skalarni produkt
Ja, korenski red ti pove velikost kletke. Za prehodno matriko rabis pa vektorje, ki resijo (A-lambda)^m x=0 (za m=1 do n). Ce pogledas kako izgleda kletka, recimo K=
[L 1 0]
[0 L 1]
[0 0 L]
in matrika je pa A=P*K*P^-1. Recimo da ima P stolpce x1,x2,x3. Recimo da uporabis (A-L)x=0 na vektorju x=a*x1+b*x2+c*x3: abc so komponente v lastnem koordinatnem sistemu. Potem se enacbe glasijo
izgleda kot
(L-L)*a+b+0*c=0
0*a+(L-L)*b+c=0
0=0
kar postane b=0 in c=0.
Torej: (A-L)x=0 ti bo dalo vektor a=poljubno, b=c=0, torej je resitev enacbe (A-L)x=0 vektor x1. Torej imamo en vektor, in tocno vemo kateri (tisti na vrhu kletke). Po drugi strani (A-L)^2*x=0 da enacbo c=0, torej ti resitev te enacbe vrne linearne kombinacije vektorjev x1 in x2 (rang matrike je tak, da je resitev homogene enacbe dvodimenzionalen prostor), resitev enacbe (A-L)^3*x=0 pa da kombinacije vseh treh. Tako da (A-L)^3*x=0 ti da nekaj v stilu a*x1+b*x2+c*x3, torej ti da cel linearni podprostor, ne ves pa se kako razcepit (ne ves posameznih x1,x2,x3). Kako razbit ta korenski podprostor na ustrezne vektorje, si pa pomagas z dejstvom, da velja (zaradi zgradbe kletke) tole:
(A-L)*x2=x1
(A-L)*x3=x2
in
(A-L)^2*x3=x1
[L 1 0]
[0 L 1]
[0 0 L]
in matrika je pa A=P*K*P^-1. Recimo da ima P stolpce x1,x2,x3. Recimo da uporabis (A-L)x=0 na vektorju x=a*x1+b*x2+c*x3: abc so komponente v lastnem koordinatnem sistemu. Potem se enacbe glasijo
izgleda kot
(L-L)*a+b+0*c=0
0*a+(L-L)*b+c=0
0=0
kar postane b=0 in c=0.
Torej: (A-L)x=0 ti bo dalo vektor a=poljubno, b=c=0, torej je resitev enacbe (A-L)x=0 vektor x1. Torej imamo en vektor, in tocno vemo kateri (tisti na vrhu kletke). Po drugi strani (A-L)^2*x=0 da enacbo c=0, torej ti resitev te enacbe vrne linearne kombinacije vektorjev x1 in x2 (rang matrike je tak, da je resitev homogene enacbe dvodimenzionalen prostor), resitev enacbe (A-L)^3*x=0 pa da kombinacije vseh treh. Tako da (A-L)^3*x=0 ti da nekaj v stilu a*x1+b*x2+c*x3, torej ti da cel linearni podprostor, ne ves pa se kako razcepit (ne ves posameznih x1,x2,x3). Kako razbit ta korenski podprostor na ustrezne vektorje, si pa pomagas z dejstvom, da velja (zaradi zgradbe kletke) tole:
(A-L)*x2=x1
(A-L)*x3=x2
in
(A-L)^2*x3=x1
Re: Skalarni produkt
Hvala...
pri Jordanski formi najprej poiščem lastne vrednosti, nato izračunam dimenzije jeder \(A-\lambda I\), dokler ni dimenzija enaka dimenziji prostora\((A-\lambda I)=0\) tj. dimenzije jeder se začnejo ponavljati od neke potence naprej. Potem preko dimenzij teh jeder dobim število in velikost kletk, potem pa poiščem korenske vektorje. Npr: če je kletka velikosti 3x3, izračunam korenski vektor za katerega velja:\((A-\lambda I)^3=0 \wedge (A-\lambda I)^2 \neq 0\). Je to uredu postopek?
pri Jordanski formi najprej poiščem lastne vrednosti, nato izračunam dimenzije jeder \(A-\lambda I\), dokler ni dimenzija enaka dimenziji prostora\((A-\lambda I)=0\) tj. dimenzije jeder se začnejo ponavljati od neke potence naprej. Potem preko dimenzij teh jeder dobim število in velikost kletk, potem pa poiščem korenske vektorje. Npr: če je kletka velikosti 3x3, izračunam korenski vektor za katerega velja:\((A-\lambda I)^3=0 \wedge (A-\lambda I)^2 \neq 0\). Je to uredu postopek?
Re: Skalarni produkt
Ja to je v redu povzetek postopka.