Vektorski prostori

O matematiki, številih, množicah in računih...
fmf
Posts: 210
Joined: 28.6.2012 16:02

Re: Vektorski prostori

Post by fmf » 22.1.2013 14:10

Hvala....zdi se mi zelo zamudno preizkušati vseh deset značilnosti vektorskega prostora( http://sl.wikipedia.org/wiki/Vektorski_prostor ), ker je to očitno.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Vektorski prostori

Post by Aniviller » 22.1.2013 16:35

No komutativnosti in asociativnosti res ponavadi ne preverjamo, se posebej ker je to ze implicirano s tem, da so resitve ze vektorji (ze zaceli smo s predpostavko x = vektor, torej je to ze jasno). Ostane le zaprtost, po moznosti skupaj z bilinearnostjo, da je bolj splosno: \(\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}\) je v prostoru, ce sta a in b v prostoru, za vsak par \(\alpha,\beta\). To v bistvu vkljucuje tudi ze preverjanje homogenosti (obstoj nicle v prostoru).

fmf
Posts: 210
Joined: 28.6.2012 16:02

Re: Vektorski prostori

Post by fmf » 30.1.2013 18:18

Naj bo \(n\geq 4\) in \(\mathbb{R}_{n}[x]\) vektorski prostor vseh polinomov stopnje največ n. Dana je množica
\(U=P\in \mathbb{R}_{n}[x]; p(1)=p(-1), p''(0)=2p(1)\)
a)dokaži, da je množica vektorski podprostor (dobil sem polinom \(a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{1}-a_{4}\) ..moram sedaj preveriti zahtevi: \(p(1)=p(-1), p''(0)=2p(1)\), da veljajo za vektorski podprostor?
b)Poišči kakšno bazo prostora U in določi dimU? dimU je število prostih spremenljivk, torej 3. Baza je \(x^{4}-1,x^{3}+x,x^{2}\) ?
c)Dopolni bazo U do vsega \(\mathbb{R}_{n}[x]\)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Vektorski prostori

Post by Aniviller » 30.1.2013 19:23

Hm... za podprostor, moras samo pokazat, da vsebuje niclo in da je zaprt (linearna kombinacija resitev je tudi v prostoru).
Nicla je ocitna
p=0
prvi pogoj
0=0
drugi pogoj
p''=0=2*0=0

Linearnost pa tudi:
\((p+q)(1)=p(1)+q(1)=(p+q)(-1)=p(-1)+p(-1)\)
\((\alpha p)(1)=\alpha p(1)=\alpha p(-1)=(\alpha p)(-1)\)
in podobno za drugi del (odvod je tudi linearen operator -- odvod vsote je vsota odvodov in odvod produkta s konstanto da konstanto ven).

b) Ja ti si se osredotocil specialno na n=4. Kaj pa v splosnem?
Prvi pogoj se glasi \(\sum_{i=0}^n a_i=\sum_{i=0}^n (-1)^n a_n\)
oziroma \(a_1+a_3+a_5+\cdots=0\).
Drugi pa
\(2a_2=2\sum_{i=0}^n a_i\)
oziroma
\(a_0+a_1+a_3+a_4+\cdots=0\)
Oba ta dva pogoja lahko razumes kot omejitev na neko hiperravnino. Torej, U je cel prostor, razen linearne kombinacije (1,1,0,1,1,1,1,1,1,.....) in (0,1,0,1,0,1,0,1,0....). To pomeni dimU=(n+1)-2. Kar je za 2 manj kot cel prostor.

Za n=4 to pomeni, da je kandidat za bazo KOMPLEMENTA \(U^\perp\): (1+x+x^3+x^4) in (1+x^2+x^4). Tvoja baza res ustreza pogojem za bazo U-ja za n=4.

Je pa malo hecno sprasevat po bazi prostora s splosno dimenzijo "n"... naloga je cudna :)

Jeler
Posts: 6
Joined: 13.5.2013 11:49

Re: Vektorski prostori

Post by Jeler » 13.5.2013 12:09

Zdravo, imam eno nalogo, za katero nevem kako bi se je lotil in bi prosil za pomoč :)
tole je ta naloga:
Ali so dani vektorji v vektorskem prostoru polinomov stopnje 3 ali manj linearno neodvisni:
\(p1(x)=2x^3+3x^2+1\)
\(p2(x)=-x^3+4x^2+3x-1\)
\(p3(x)=x^3-x^2+x-1\)
\(p4(x)=x^2-3x\)
Odgovor utemeljite!

Hvala za pomoč :))

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Vektorski prostori

Post by Aniviller » 13.5.2013 13:57

Najlazje je, da izrazis vse 4 s standardno bazo (ki ves da je linearno neodvisna) in pogledas ce je determinanta razlicna od nic.

Jeler
Posts: 6
Joined: 13.5.2013 11:49

Re: Vektorski prostori

Post by Jeler » 13.5.2013 14:16

oprosti, ampak a bi lahko malce namignil kako to zgleda?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Vektorski prostori

Post by Aniviller » 13.5.2013 15:37

Recimo da bazo razvrstis kot (1,x,x^2,x^3). Ta je ocitno linearno neodvisna. Iz te base preslikas v tvojo bazo z matriko
\(\begin{bmatrix}
1&0&3&2\\
-1 & 3 & 4 &-1\\
-1 &1 &-1 &1\\
0&-3 & 1 & 0
\end{bmatrix}\)

Determinanta tega je razlicna od nic, torej je preslikava obrnljiva, bazi sta torej istega ranga.

Jeler
Posts: 6
Joined: 13.5.2013 11:49

Re: Vektorski prostori

Post by Jeler » 13.5.2013 15:53

hvala, sem pogruntal potem kako to gre, malo drugače sem naredil, ampak je na isti princip :) kaj naj bi pa napisal pod odgovor utemeljite?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Vektorski prostori

Post by Aniviller » 13.5.2013 20:06

Ce si sel preko determinante, potem ze ne vem kaj naj bi bilo za utemeljit, saj je to prakticno po definiciji linearno nedvisno (determinanta = 0 pomeni da stolpci in vrstice niso linearno neodvisni).

Jeler
Posts: 6
Joined: 13.5.2013 11:49

Re: Vektorski prostori

Post by Jeler » 13.5.2013 20:10

tudi jaz sem takega mnenja :) hvala še enkrat za odgovore

sanej
Posts: 71
Joined: 25.8.2010 18:00

Re: Vektorski prostori

Post by sanej » 23.5.2013 21:57

Živjo imam par vprašanj

1) rabil bi kakšno ortonormirano bazo prostora \(\mathbb{C}^n\) ?

2) Naj bo\(A \subset \mathbb{R}^2 \quad in \, f :A\to \mathbb{C}\) funkcija. Naj bo \(\iint_A |f| \mathrm{d} S =0\) kaj lahko sklepaš o funkciji?

jest sem razmišljal takole \(0= \iint_A |f| \mathrm{d}S > |\iint_A f\mathrm{d}S > \iint_A f \mathrm{d} S\) torej f = 0 ali pa f < 0

kolk je to prav oziroma narobe?


3) bi znal kdo iz definicije mere : podmnožica A v R^2 ima n-razsežno mero 0, če za vsak \(\epsilon > 0\)obstaja zaporedje pravokotnikov \(A_1,A_2....A_n\) tako da je \(A\subset \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \quad in \, \sum_{i=1}^{\infty} V(A_i) < \epsilon\), dokazat, da ima premica v ravnini dvorazsežno mero 0. npr os x in malo komentirat?

nekako pokriješ premico z temi pravokotniki, in dobiš neko delitev, tu se mi ustavi ker ne vem vsote upoštevat?

hval za odgovore

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Vektorski prostori

Post by Aniviller » 23.5.2013 22:18

1) Kateri prostor to mislis? Kompleksni vektorji? Ali si mislil n-krat odvedljive funkcije? V vsakem primeru moras vedet kateri skalarni produkt imas.
2) ce je tam absolutna vrednost, potem mora bit itak funkcija identicno enaka 0 (razen na mnozici z mero nic ima lahko "smeti", ce smatras integral v posploseni obliki).
3) Lahko eksplicitno skonstruiras zaporedje. Naivno gledano bi moral biti en pravokotnik dovolj, ampak na zalost je premica neskoncno dolga, tako da bo s ploscino problem. Zato moras najt nacin kako jo prekrit s koncno ploscino. Ideja je geometrijsko zaporedje (to ima koncno vsoto). Recimo, da izberes pravokotnike dolzine 1. Zacnes s sredinskim trakcem sirine q, dodas na levi in desni enega s sirino q/2 in potem q/4 in tako naprej. Ploscina te zadeve je
\(q+2\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}q=3q\)
Torej, za vsak \(\epsilon>0\) lahko izberes \(q<\epsilon/3\) in si resen. To je seveda samo en primer kako to pokrijes.

sanej
Posts: 71
Joined: 25.8.2010 18:00

Re: Vektorski prostori

Post by sanej » 23.5.2013 22:47

1) mislil sem prostor s kompleksnimi vektorji. Hm ja skalarnega produkta ni podanega tako da smatram da lahko kar standardnega uporabimo. No mislil sem, če je kakšna tako očitna ONB kot je npr (1,0,0...), (0,1,0,0,0..),(0,0,1,0,0 ..).. da bi npr vzel (1,0...), (0,i,0,) samo več kot za ravnino si ne znam predstavljat?

Ravno pa razmišljam, ali bi veljalo uporabit \(\{1/\sqrt{2\pi} \,e^{ikx} \}\) kjer je k celo št.

3) torej glavna poanta je zaporedje, s končno vsoto?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Vektorski prostori

Post by Aniviller » 24.5.2013 0:17

1) V kompleksnem vektorskem prostoru so tudi koeficienti linearnega razvoja lahko kompleksni, tako da je (1,0,0,...), (0,1,0,...), (0,0,1,...) cisto v redu baza.

Sicer pa tako: Fourierova baza s celostevilskimi k-ji je "polna" baza (za gladke funkcije) na intervalu (fourierova vrsta). Na celi realni osi je sicer set neodvisnih vektorjev, ampak ne pokrije celega prostora (ampak samo periodicne funkcije). Na celi realni osi moras vzet Fourierovo transformacijo (integralsko obliko) - vse realne k-je rabis.

3) Ja. Pac najdes nek nacin kako to sestavit. Jaz sem vzel geometrijsko zaporedje s faktorjem 2, ampak lahko vzames kaj drugega ce hoces.

Post Reply