Vektorski prostori

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
anjaD
Prispevkov: 81
Pridružen: 23.8.2010 13:04

Re: Vektorski prostori

Odgovor Napisal/-a anjaD »

Vzela sem polinom stopnje 5 in dobila bazo:{(-x^5+x^3),(x^2),(-x^5+x),(-x^4+1)} Sedaj pa samo dodam x^6,x^7 itd ?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Vektorski prostori

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No, manjkata ti se dva od nizjih (tehle ni 6). In ker imas smesno bazo z vec polinomi iste stopnje moras malo pazit. Ni pa hudo. Vidis recimo, da polinoma 1 ne mores sestavit iz teh 4h tako da je lahko 1 dodaten bazni vektor. Prav tako velja za polinom x.

anjaD
Prispevkov: 81
Pridružen: 23.8.2010 13:04

Re: Vektorski prostori

Odgovor Napisal/-a anjaD »

Ok zdaj pa nič več ne razumem.Kako pa dobim drugačno bazo?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Vektorski prostori

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ja pomesas jih lahko. Recimo namesto -x^5+x^3 in -x^5+x lahko vzames kaksno linearno kombinacijo, recimo vsoto in razliko
-2x^5+x^3+x in
x^3-x
(ali kakrsno koli drugo linearno kombinacijo, samo da so neodvisni). Vedno kadar imas dva neodvisna polinoma iste stopnje lahko skombiniras tako da dobis enega iste stopnje in enega nizje.

anjaD
Prispevkov: 81
Pridružen: 23.8.2010 13:04

Re: Vektorski prostori

Odgovor Napisal/-a anjaD »

Še vedno ne razumem kako potem dopolniš bazo U do R_n[x]. Ah ja saj bom že ugotovila.
Hvala za odgovore.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Vektorski prostori

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Pocistis obstojeco bazo da ima vse razlicne stopnje, potem pa "zapolnis" vse luknje do "n", kakrsenkoli ze je. To lahko naredis na nesteto nacinov (edini pogoj je da so linearno neodvisni, lahko si izmisljujes kar si hoces).

anjaD
Prispevkov: 81
Pridružen: 23.8.2010 13:04

Re: Vektorski prostori

Odgovor Napisal/-a anjaD »

Aha zdaj pa razumem.Samo problem je v tem, da ta n ni podan. Gre pač v neskončnost :)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Vektorski prostori

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Nic hudega ce ni podan, saj itak govorimo teoreticno.

anjaD
Prispevkov: 81
Pridružen: 23.8.2010 13:04

Re: Vektorski prostori

Odgovor Napisal/-a anjaD »

Hvala :)

fmf
Prispevkov: 210
Pridružen: 28.6.2012 16:02

Re: Vektorski prostori

Odgovor Napisal/-a fmf »

Še ena iz vektorskih prostorov.

Enako dolga neničelna vektorja \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \in \mathbb{R} ^n\) oklepata kot 120°. Prepričaj se, da rešitve vektorske enačbe \((\overrightarrow{a}\overrightarrow{x})\overrightarrow{a}}+2\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{x}=\overrightarrow{x} \times \overrightarrow{a}\) tvorijo vektorski prostor ter določi njegovo razsežnost in kako njegovo bazo.

Rešitev enačbe dobim \(\overrightarrow{x} = \alpha \overrightarrow{a} + \beta \overrightarrow{b}\).

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Vektorski prostori

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No, vektorski produkt je definiran samo v 3D, tako da ne bo slo na splosno v R^n, ampak samo za n=3. Potem pa lahko nastavis kar
\(x=\alpha \vec{a}+\beta\vec{b}+\gamma \vec{a}\times\vec{b}\)
Vstavis:
\((\alpha|a|^2+\beta (ab))\vec{a}+2(\alpha\vec{b}\times \vec{a}+\gamma(\vec{a}|b|^2-\vec{b}(ab))\)\(=\beta\vec{b}\times\vec{a}+\gamma(\vec{b}|a|^2-\vec{a}(ab))\)
Zdaj lahko primerjas po komponentah. Komponenta pri \(\vec{a}\(:
\(\alpha |a|^2+\beta(ab)+2\gamma |b|^2=-\gamma (ab)\)
Komponenta pri \(\vec{b}\):
\(-2\gamma (ab)=\gamma |a|^2\)
Uporabis se podatek o kotu, \((ab)=|a||b|\cos 120^\circ=-|a||b|/2\) in podatek, da sta enako dolga - tako vidis, da je ta enacba vedno izpolnjena. V vseh ostalih primerih izbire a in b, bi morala biti gama=0. Tako pa ta enacba ne pove nicesar.

Komponenta pred \(\vec{b}\times\vec{a}\):
\(2\alpha=\beta\)
Ta enacba je zelo jasna, prvo moras se predelat s podatkom o (ab) in dobis dve enacbi za tri neznanke. Tako lahko vse izrazis z 1 neznanko, in dobis vektorski prostor resitev.

Preveri ce nisem naredil kaksne neumnosti.\)
\)

fmf
Prispevkov: 210
Pridružen: 28.6.2012 16:02

Re: Vektorski prostori

Odgovor Napisal/-a fmf »

Hvala, tako rešitev sem dobil pa sem jo očitno narobe prepisal. Koliko pa je razsežnost in kaj je primer baze?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Vektorski prostori

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No, razseznost je stevilo prostih konstant v koncnem izrazu, baza je pa tisto kar stoji zraven vsake posamicne konstante. Recimo, ce dobis \(\alpha(2a+b)+\beta (b+ a\times b)\)
bi imel dvorazsezni prostor z bazo (2a+b) in (b+a x b). Jasno lahko bazo menjas (vzames kaksno drugo linearno kombinacijo prejsnje baze). To seveda nima veze z nalogo ampak je samo izmisljen primer.

fmf
Prispevkov: 210
Pridružen: 28.6.2012 16:02

Re: Vektorski prostori

Odgovor Napisal/-a fmf »

Torej je razsežnost 1(je samo ena prosta konstanta, ker se alfa izraža z beto: \(\overrightarrow{x}= \alpha (\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b})\), baza pa je \(\overrightarrow{a}+ 2 \overrightarrow{b}\) ?... verjetno je potrebno napisati kakšno konkretno bazo(npr:(1,2))......drugo vprašanje...kako preverimo, da je množica rešitev vektorski prostor?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: Vektorski prostori

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Tako ja. In a+2b je cisto konkretna baza.
No saj vidis, da je vektorski prostor. Gre za linearno ogrinjaco enega vektorja. Linearnost je zagotovljena, ker imas vektorje, niclo itak vkljucuje, zaprtost je pa tudi zagotovljena, ker se pri sestevanju enostavno sestevajo konstante pred baznimi vektorji.

Odgovori