Vektorski prostori
Enako. Ce to z necim izenacis samo gledas "izohipso". To je lahko par premic, hiperbola ali elipsa, v tvojem 3D primeru pa neizrojena ploskev drugega reda (hiperboloid, elipsoid, valj,...), pac odvisno od predznakov. Ti moras samo spravit v kvadratno obliko in pogledat kaj to je in kam je usmerjeno.
Aniviller:
Včeraj smo imeli izpit iz Algebre I in je bila ena naloga s kvadratnimi formami. Ne spomnem se točne enačbe krivulje drugega reda. Uglavnem, karakteristični polinom simetrične prirejenke od enačbe je bil:
\($$-y^3 + 2y^2 + 10y - 12$$\)
Ta polinom pa nima realnih ničel - torej ni realnih lastnih vrednostih. A je taka naloga rešljiva? Polinom sigurno ni narobe izračunan, ker smo preverili skupaj s sošolci in je sigurno ta.
Včeraj smo imeli izpit iz Algebre I in je bila ena naloga s kvadratnimi formami. Ne spomnem se točne enačbe krivulje drugega reda. Uglavnem, karakteristični polinom simetrične prirejenke od enačbe je bil:
\($$-y^3 + 2y^2 + 10y - 12$$\)
Ta polinom pa nima realnih ničel - torej ni realnih lastnih vrednostih. A je taka naloga rešljiva? Polinom sigurno ni narobe izračunan, ker smo preverili skupaj s sošolci in je sigurno ta.
Take naloge sploh ni! Teorija pravi da realna simetricna matrika ne more imeti kompleksnih lastnih vrednosti! Tako da nekaj bi bilo zagotovo narobe. Ce je matrika simetricna, potem ima polinom realne nicle (vas polinom je tak), drugace ste pa matriko zapisali narobe.
Z drugimi besedami: vas polinom ima realne nicle, samo programski paketi ne znajo poenostaviti resitve. Ce ste delali z Mathematico, potem poglej se N[%,100] in vidis da so resitve realne.
lp, Aniviller
Z drugimi besedami: vas polinom ima realne nicle, samo programski paketi ne znajo poenostaviti resitve. Ce ste delali z Mathematico, potem poglej se N[%,100] in vidis da so resitve realne.
lp, Aniviller
Mimogrede, splosen problem pridobivanja analiticnih resitev polinoma 3. stopnje je da dobis resitve preko kompleksnih korenov. V vecini primerov je dobljena resitev neuporabna. Ce ni ocitnih resitev se take probleme resuje numericno. Konkretne lastne vrednosti za vas karakteristicni polinom pridejo:
\(\lambda_1\approx 1.092\)
\(\lambda_2\approx -2.892\)
\(\lambda_3\approx 3.800\)
Ne vem pa kaj taka naloga pocne na izpitu. Verjetno ni bil cilj asistenta da bi student uporabljal numericne metode ali pa iskal analiticno resitev polinoma 3. stopnje
\(\lambda_1\approx 1.092\)
\(\lambda_2\approx -2.892\)
\(\lambda_3\approx 3.800\)
Ne vem pa kaj taka naloga pocne na izpitu. Verjetno ni bil cilj asistenta da bi student uporabljal numericne metode ali pa iskal analiticno resitev polinoma 3. stopnje
Hmm...ful čudno, ker matrika je bila 100% simetrična, ter realna. Ne ne, nismo nič delali na računalnik, vse na roke. Jzt sm s Hornerjem celo preveru vse celoštevilske kandidate za ničle (+-1,2,3,4,6,12) No, mogoče sem se kje zmotil, sam potem se je zmotilo še ene 5 sošolcev, kar bi bilo malo čudno (vsi smo neodvisno prišli do istega polinoma). Bom poskusu izvedet točno navodilo naloge!
Evo, dobil sem besedilo naloge. Enačba je naslednja:
\($$2x^2 - y^2 + z^2 + 2yz - 4xz + 4xy =1$$\)
Treba je ugotovit katero krivuljo predstavlja...sej to ni važno. Torej, ali ima simetrična prirejenka "normalne" lastne vrednosti?
Jzt sem naredil prirejenko takole (se opravičujem, ker ne znam v TeXu delati matrik):
\($$2 2 -2 \\2 -1 1 \\-2 1 1$$\)
Za to matriko pride karakt. polinom kot sem ga že prej zapisal, torej:
\($$-x^3 + 2x^2 + 10x - 12\)
Sedaj sklepam, ali sem (smo) narobe naredili matriko, ali pa naloga ni rešljiva v okviru našega znanja.
Aniviller?
\($$2x^2 - y^2 + z^2 + 2yz - 4xz + 4xy =1$$\)
Treba je ugotovit katero krivuljo predstavlja...sej to ni važno. Torej, ali ima simetrična prirejenka "normalne" lastne vrednosti?
Jzt sem naredil prirejenko takole (se opravičujem, ker ne znam v TeXu delati matrik):
\($$2 2 -2 \\2 -1 1 \\-2 1 1$$\)
Za to matriko pride karakt. polinom kot sem ga že prej zapisal, torej:
\($$-x^3 + 2x^2 + 10x - 12\)
Sedaj sklepam, ali sem (smo) narobe naredili matriko, ali pa naloga ni rešljiva v okviru našega znanja.
Aniviller?
Evo, dobil sem odgovor od asistenta kako se reši naloga:
"Pozdravljen!
Naloga je resljiva z metodo zdruzevanja v popolne kvadrate, za kar ne
potrebujemo niti matrike, temvec enacbo le preuredimo v obliko
AX^2+BY^2+CZ^2=1, kjer so X,Y,Z linearne kombinacije spremenljivk
x,y,z. Potem iz predznakov koeficientov A,B in C sledi, kaksno ploskev
enacba predstavlja!
LP"
Kako pa gre tole?
"Pozdravljen!
Naloga je resljiva z metodo zdruzevanja v popolne kvadrate, za kar ne
potrebujemo niti matrike, temvec enacbo le preuredimo v obliko
AX^2+BY^2+CZ^2=1, kjer so X,Y,Z linearne kombinacije spremenljivk
x,y,z. Potem iz predznakov koeficientov A,B in C sledi, kaksno ploskev
enacba predstavlja!
LP"
Kako pa gre tole?
Tole je ugibanje, ki se vcasih obnese. Mesane clene poskusas dobiti kot srednji clen kot pri (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. Naceloma je pa metoda ista kot ta z lastnimi vrednostmi. Vendar dvomim da s to metodo dobis npr.
\(X=-1.637093370x -0.4737453392y+ z\)
Mogoce spregledujem kaj ocitnega ampak na ta nacin resitve ne dobim.
\(X=-1.637093370x -0.4737453392y+ z\)
Mogoce spregledujem kaj ocitnega ampak na ta nacin resitve ne dobim.
-
- Prispevkov: 2842
- Pridružen: 16.8.2004 19:41
-
- Prispevkov: 2842
- Pridružen: 16.8.2004 19:41
Tvoja je tipa enodelni hiperboloid. Na googlu vtipkaj ploskve drugega reda. Našel sem tole stran, kjer so lepe slikce:
http://www.dmfa.si/www_zeljko/PloskveIIreda.pdf
http://www.fmf.uni-lj.si/~kosir/pouceva ... vforme.pdf
http://mathworld.wolfram.com/QuadraticSurface.html
Anivilerjeve rešitve kažejo na to, da sta dve lastni vrednosti pozitivni ena negativna. Se pravi, da bo približno nekaj takega \(w^{2}-u^{2}+3v^{2}=1\), kar pa je enodelni hiperbolid.
http://www.dmfa.si/www_zeljko/PloskveIIreda.pdf
http://www.fmf.uni-lj.si/~kosir/pouceva ... vforme.pdf
http://mathworld.wolfram.com/QuadraticSurface.html
Anivilerjeve rešitve kažejo na to, da sta dve lastni vrednosti pozitivni ena negativna. Se pravi, da bo približno nekaj takega \(w^{2}-u^{2}+3v^{2}=1\), kar pa je enodelni hiperbolid.
Še eno vprašanje v zvezi z vektorskimi prostori:
Kaj je fora invariantnih prostorov? Ja, poznam definicijo, da je V, ki je podprostor U invarianten za endomorfizem A, kadar velja da je Av v U, za vsak v iz V.
Ampak zanima me ali imajo invariantni prostori kakšne posebne lastnosti, da bi se jih sploh splačalo omenjat (ja, sej vem da verjetno jih imajo, sam jih nisem zasledil, ali pa sem slep...kar ni izključeno).
Kaj je fora invariantnih prostorov? Ja, poznam definicijo, da je V, ki je podprostor U invarianten za endomorfizem A, kadar velja da je Av v U, za vsak v iz V.
Ampak zanima me ali imajo invariantni prostori kakšne posebne lastnosti, da bi se jih sploh splačalo omenjat (ja, sej vem da verjetno jih imajo, sam jih nisem zasledil, ali pa sem slep...kar ni izključeno).