Definicijo si napisal narobe: V<U je invarianten za A, če Av leži v V (ne v U) za vsak v iz V.
Invariantni prostori so zanimivi zaradi iskanja baze, v kateri pripada endomorfizmu čim enostavnejša matrika. Najbrž veš, da lahko A predstaviš z diagonalno matriko, kadar obstaja baza prostora, sestavljena iz lastnih vektorjev za A (oziroma, kadar lahko celoten prostor zapišeš kot premo vsoto lastnih podprostorov za A). Vedno pa to ni mogoče, zato je zanimivo poiskati razcep prostora na premo vsoto invariantnih podprostorov. Če dobiš U=V1(+)V2(+)...(+)Vn, kjer so podprostori Vi invariantni za A, potem lahko bazo U izbereš tako, da bo matrika za A bločno diagonalna (to je izhodišče za Jordanovo teorijo).
Primer: Recimo, da je U=Lin{a,b,c,d}, V1=Lin{a,b}, V2=Lin{c,d}, kjer sta
V1 in V2 invariantna za A. Potem je matrika, ki pripada A v bazi {a,b,c,d}, oblike
\(\begin{bmatrix}*&*&0&0\\ *&*&0&0\\0&0&*&*\\0&0&*&*\end{bmatrix}\).
Vektorski prostori
Se opravičujem za definicijo.
Aha, to je torej to, da nek prostor razcepiš na določene (vrjetno ne kakršnekoli, ne?) invariantne podprostore, nato pa je njihova matrika bločno diagonalna. No, sej nekaj takega je v zapiskih, ampak sem mislil da ni imelo neke strašne veze z invariantnimi prostori. Najlepša hvala!
Aha, to je torej to, da nek prostor razcepiš na določene (vrjetno ne kakršnekoli, ne?) invariantne podprostore, nato pa je njihova matrika bločno diagonalna. No, sej nekaj takega je v zapiskih, ampak sem mislil da ni imelo neke strašne veze z invariantnimi prostori. Najlepša hvala!
Najprej en lep pozdrav 
Bližajo se izpiti in mene čaka eden malce manjvšečnih, in sicer matrična algebra, glede na to, da sem po duši družboslovka
mi le ta povzorča nekaj problemov...
SEj vam je verjetno to ist lahko, ampak js bi vseen rabla mal pomoči...
In sicer mam nekaj vprašanj:
Kako z računanjem ugotoviš, kdaj so vektroji LINEARNO ODVISNI in NEODVISNI? Vem, da so linearno odvini takart, ko lahko enga izraziš z drugim... ampak kako to praktično nardiš?
Potem kako praktično ugotoviš, če imaš podane vektorje in moraš ugotovit, če generirajo dani prostor?
In kako določiš razsežnost prostorov npr.
- Prostor vseh n-terc, n je manjši od 1, ki imajo vsoto prve in zadnje komponente enako nič.
Upam, da mi bo lahko do pomagal pa prosim ne se smejat, če so vprašanja neumna 
pa,pa
Bližajo se izpiti in mene čaka eden malce manjvšečnih, in sicer matrična algebra, glede na to, da sem po duši družboslovka
mi le ta povzorča nekaj problemov...SEj vam je verjetno to ist lahko, ampak js bi vseen rabla mal pomoči...
In sicer mam nekaj vprašanj:
Kako z računanjem ugotoviš, kdaj so vektroji LINEARNO ODVISNI in NEODVISNI? Vem, da so linearno odvini takart, ko lahko enga izraziš z drugim... ampak kako to praktično nardiš?
Potem kako praktično ugotoviš, če imaš podane vektorje in moraš ugotovit, če generirajo dani prostor?
In kako določiš razsežnost prostorov npr.
- Prostor vseh n-terc, n je manjši od 1, ki imajo vsoto prve in zadnje komponente enako nič.
Upam, da mi bo lahko do pomagal
pa prosim ne se smejat, če so vprašanja neumna pa,pa
Alora, lepo po vrsti, kot hiše v Trstu:
- vektorji so linearno neodvisni natanko takrat, ko je vsota vsakogar od njih, pomnoženim z poljubnim skalarjem, enaka nič edino takrat, ko so ti poljubni skalarji enaki nič. Bo boljš da formalno napišem, z formulami:
\(\mbox{Vektorji } v_1, v_2, \ldots , v_n \mbox{ so linearno neodvisni }\Longleftrightarrow\)
\(\Longleftrightarrow \alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + \ldots + \alpha_n \cdot v_n = 0 \Leftrightarrow \alpha_1 = \alpha_2 = \ldots = \alpha_n = 0\)
Po človeško bi lahko rekli, da so neki vektorji neodvisno, ko jih nikoli ne moreš seštet tako, da bo njihova vsota enaka nič, tudi če vsakega pomnožiš z nekim skalarjem. Razen če so skalarji vsi enaki nič - potem pač itak
Kako pogledaš, če sta recimo dva vektorja linearno odvisna? Preprosto tako, da pogledaš če je en večkratnik drugega. Dej kakšeno nalogo, je lažje pokazat na nalogah
- vektorji generirajo nek prostor, če so linearno neodvisni med seboj in če jih je zadosti, da lahko z njimi generiraš nek prostor - torej za n-razsežen prostor potrebuješ n linearno neodvisnih vektorjev
- razsežnost prostorov lahko recimo določiš tako, da pogledaš vektorje, ki ga generirajo in pogledaš koliko jih je linearno neodvisnih - tolk kot jih je, tolk je razsežnost prostora. Tista naloga je malo čudno formulirana.
Upam da je vsaj malo razumljivo.
- vektorji so linearno neodvisni natanko takrat, ko je vsota vsakogar od njih, pomnoženim z poljubnim skalarjem, enaka nič edino takrat, ko so ti poljubni skalarji enaki nič. Bo boljš da formalno napišem, z formulami:
\(\mbox{Vektorji } v_1, v_2, \ldots , v_n \mbox{ so linearno neodvisni }\Longleftrightarrow\)
\(\Longleftrightarrow \alpha_1 \cdot v_1 + \alpha_2 \cdot v_2 + \ldots + \alpha_n \cdot v_n = 0 \Leftrightarrow \alpha_1 = \alpha_2 = \ldots = \alpha_n = 0\)
Po človeško bi lahko rekli, da so neki vektorji neodvisno, ko jih nikoli ne moreš seštet tako, da bo njihova vsota enaka nič, tudi če vsakega pomnožiš z nekim skalarjem. Razen če so skalarji vsi enaki nič - potem pač itak
Kako pogledaš, če sta recimo dva vektorja linearno odvisna? Preprosto tako, da pogledaš če je en večkratnik drugega. Dej kakšeno nalogo, je lažje pokazat na nalogah
- vektorji generirajo nek prostor, če so linearno neodvisni med seboj in če jih je zadosti, da lahko z njimi generiraš nek prostor - torej za n-razsežen prostor potrebuješ n linearno neodvisnih vektorjev
- razsežnost prostorov lahko recimo določiš tako, da pogledaš vektorje, ki ga generirajo in pogledaš koliko jih je linearno neodvisnih - tolk kot jih je, tolk je razsežnost prostora. Tista naloga je malo čudno formulirana.
Upam da je vsaj malo razumljivo.
Verjetno je misljeno n>1. Za tak primer imas pac "n-terice" oblike
\(\{a,b,c,d,\ldots,-a\}\)
Vidimo da lahko z n-1 parametri popises vse. Torej je ta prostor n-1 dimenzionalen. Treba bi blo verjetno se dokazat da je to sploh vektorski prostor, kar pa ni tezko. (dokazes da je \(\alpha x\) in \(x+y\) tudi enake oblike).
Ce je n n-komponentnih vektorjev linearno neodvisnih preveris tudi takole: zlozis jih v matriko in zracunas determinanto. Ce je 0 so linearno odvisni.
Primer: vektorji a,b,c:
\(\det T=\begin{vmatrix}a_1& a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}=\ldots\)
\(\{a,b,c,d,\ldots,-a\}\)
Vidimo da lahko z n-1 parametri popises vse. Torej je ta prostor n-1 dimenzionalen. Treba bi blo verjetno se dokazat da je to sploh vektorski prostor, kar pa ni tezko. (dokazes da je \(\alpha x\) in \(x+y\) tudi enake oblike).
Ce je n n-komponentnih vektorjev linearno neodvisnih preveris tudi takole: zlozis jih v matriko in zracunas determinanto. Ce je 0 so linearno odvisni.
Primer: vektorji a,b,c:
\(\det T=\begin{vmatrix}a_1& a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{vmatrix}=\ldots\)
ooooo, ful hvala za tok hitre odgovore sm bla res ful vesela, k sm pogledala na forum
aha, torej je vsa umetnost v tem, da jih napišem v matriko, in če je determinata 0 potem so linerano odvisni. Če pa je različna od nič pa so linearno neodvisni?
Sam vseen mi ni čist jasno, zakaj če je D=0, so pol vektorji linearno odvisni? a to morm sprejet kot dejstvo
ker vrjetno obstaja logična razlaga za to sam jo moji možgani ne dojamejo
Ja tm sm se pa res zmotla, mišljeno je blo n>1
No tuki mam 2 nalogi:
1. Določi vektorje, ortogonalne na naslednje vektorje:
2.) Preveri, da tvorijo naslednji vektorji ortogonalno bazo ustreznega prostora in jih normiraj, tako, da boš dobil ortonomirano bazo
sm bla res ful vesela, k sm pogledala na forum aha, torej je vsa umetnost v tem, da jih napišem v matriko, in če je determinata 0 potem so linerano odvisni. Če pa je različna od nič pa so linearno neodvisni?
Sam vseen mi ni čist jasno, zakaj če je D=0, so pol vektorji linearno odvisni? a to morm sprejet kot dejstvo
ker vrjetno obstaja logična razlaga za to sam jo moji možgani ne dojamejo Ja tm sm se pa res zmotla, mišljeno je blo n>1
No tuki mam 2 nalogi:
1. Določi vektorje, ortogonalne na naslednje vektorje:
2.) Preveri, da tvorijo naslednji vektorji ortogonalno bazo ustreznega prostora in jih normiraj, tako, da boš dobil ortonomirano bazo
Ce se spomnis, ko racunas determinanto, je ta nic ce sta dve vrstici ali stolpca enaka ali sta v sorazmerju.fiona napisal/-a: aha, torej je vsa umetnost v tem, da jih napišem v matriko, in če je determinata 0 potem so linerano odvisni. Če pa je različna od nič pa so linearno neodvisni?
Sam vseen mi ni čist jasno, zakaj če je D=0, so pol vektorji linearno odvisni? a to morm sprejet kot dejstvo
@fiona:
Če pa imaš recimo podanih več vektorjev, ki naj bi kao določali nek prostror in želi naloga od tebe, da pogledaš koliko je razsežnost prostora jih zapišeš v matriko (kot vrstice) in nato delaš Gaussov postopek po vrsticah na tej matriki - odštevaš večkratnike ene ali več vrstic k drugim, tako da hočeš naredit na diagonali matrike same enke, pod to diagonalo pa same ničle - oziroma iščeš rang neke matrike. Če je kateri od vektorjev linearno odvisen se bo potem "izbrisal" - od njega bodo ostale same ničle in tako je determinanta take matrike enaka nič.
Uglavnem, ko ti enkrat ostanejo samo tiste vrstice, ki jih ne moreš z drugimi pokrajšat, jih prešteješ in imaš razsežnost prostora, ki ga določajo tej vektorji.
Glede nalog:
Če sta dva vektorja ortogonalna, ali po slovensko pravokotna en na drugega, potem je njun skalarni produkt enak nič.
Rešitev 1. dela 1. naloge:
Skalarni produkt podanega vektorja \(a = (1,1,1,1)\) z nekim poljubnim vektorjem \(c = (a,b,c,d)\) mora bit enak nič \(a \cdot b = 0\). Skalarni produkt pa vemo kako se računa, tako da ga zračunamo \(a \cdot b = 1 \cdot a + 1 \cdot b + 1 \cdot c + 1 \cdot d = 0\).
Verjetno pa ta naloga zahteva da poiščemo vse vektorje iz \(\mathbb{R}^4\), ki pravokotni z obema vektorjema hkrati, torej z vektorjem \(a = (1,1,1,1) \mbox{ in } b = (1,1,1,-1)\) hkrati. Torej mora veljati tudi da je \(b \cdot c = 0\) - izračunamo in dobimo \(a + b + c - d = 0\).
Tako imamo dve enačbi in štiri neznanke. Ker lahko v takem sistemu enačb izrazimo največ dve neznanki, bomo imeli dve številki za poljubne, oz. za parametre - recimo da bosta to a in b.
Potemtakem izrazimo iz prve enačbe recimo d in vstavimo v drugo:
\(d = -a -b -c\)
\(a + b + c - (- a - b - c) = 2a + 2b + 2c = 0\)
Izrazimo še c iz te nove enačbe:
\(c = - a - b\)
In vstavimo namesto c-ja v enačbo, kjer se izraža d z ostalimi:
\(d = - a - b - ( - a - b) = 0\)
Tako smo ugotovili da so vsi vektorji, ki so pravokotni na ta dva hkrati, oblike:
\(c = (a, b, - a - b, 0) ; a, b \in \mathbb{R}\)
Kjer sta a in b poljubna skalarja - poljubno realno število.
Tako rešiš potem še ostala dva primera, le da pri tretjem lahko izraziš pač samo eno neznanko z ostalimi dvemi.
Pri 2. nalogi pa samo pogledaš skalarni produkt med vsakima dvema vektorjema - če je enak nič, potem sta ta dva vektorja pravokotna med seboj, če ni enak nič, potem pač nista. Normaliziraš - po slovensko, jih napraviš dolge 1 - jih tako, da jih deliš z njihovo dolžino.
Primer, za vektor \((1,4,8)\):
Ta vektor je dolg \(\left| v \right| = \sqrt{v \cdot v} = \sqrt{1 \cdot 1 + 4 \cdot 4 + 8 \cdot 8} = \sqrt{1 + 16 + 64} = \sqrt{81} = 9\)
Tako da če ga hočemo normalizirat, ga delimo z normalo - dolžino:
\((1,4,8) / 9 = (\frac{1}{9}, \frac{4}{9}, \frac{8}{9})\) in ga imamo znormaliziranga.
Če pa imaš recimo podanih več vektorjev, ki naj bi kao določali nek prostror in želi naloga od tebe, da pogledaš koliko je razsežnost prostora jih zapišeš v matriko (kot vrstice) in nato delaš Gaussov postopek po vrsticah na tej matriki - odštevaš večkratnike ene ali več vrstic k drugim, tako da hočeš naredit na diagonali matrike same enke, pod to diagonalo pa same ničle - oziroma iščeš rang neke matrike. Če je kateri od vektorjev linearno odvisen se bo potem "izbrisal" - od njega bodo ostale same ničle in tako je determinanta take matrike enaka nič.
Uglavnem, ko ti enkrat ostanejo samo tiste vrstice, ki jih ne moreš z drugimi pokrajšat, jih prešteješ in imaš razsežnost prostora, ki ga določajo tej vektorji.
Glede nalog:
Če sta dva vektorja ortogonalna, ali po slovensko pravokotna en na drugega, potem je njun skalarni produkt enak nič.
Rešitev 1. dela 1. naloge:
Skalarni produkt podanega vektorja \(a = (1,1,1,1)\) z nekim poljubnim vektorjem \(c = (a,b,c,d)\) mora bit enak nič \(a \cdot b = 0\). Skalarni produkt pa vemo kako se računa, tako da ga zračunamo \(a \cdot b = 1 \cdot a + 1 \cdot b + 1 \cdot c + 1 \cdot d = 0\).
Verjetno pa ta naloga zahteva da poiščemo vse vektorje iz \(\mathbb{R}^4\), ki pravokotni z obema vektorjema hkrati, torej z vektorjem \(a = (1,1,1,1) \mbox{ in } b = (1,1,1,-1)\) hkrati. Torej mora veljati tudi da je \(b \cdot c = 0\) - izračunamo in dobimo \(a + b + c - d = 0\).
Tako imamo dve enačbi in štiri neznanke. Ker lahko v takem sistemu enačb izrazimo največ dve neznanki, bomo imeli dve številki za poljubne, oz. za parametre - recimo da bosta to a in b.
Potemtakem izrazimo iz prve enačbe recimo d in vstavimo v drugo:
\(d = -a -b -c\)
\(a + b + c - (- a - b - c) = 2a + 2b + 2c = 0\)
Izrazimo še c iz te nove enačbe:
\(c = - a - b\)
In vstavimo namesto c-ja v enačbo, kjer se izraža d z ostalimi:
\(d = - a - b - ( - a - b) = 0\)
Tako smo ugotovili da so vsi vektorji, ki so pravokotni na ta dva hkrati, oblike:
\(c = (a, b, - a - b, 0) ; a, b \in \mathbb{R}\)
Kjer sta a in b poljubna skalarja - poljubno realno število.
Tako rešiš potem še ostala dva primera, le da pri tretjem lahko izraziš pač samo eno neznanko z ostalimi dvemi.
Pri 2. nalogi pa samo pogledaš skalarni produkt med vsakima dvema vektorjema - če je enak nič, potem sta ta dva vektorja pravokotna med seboj, če ni enak nič, potem pač nista. Normaliziraš - po slovensko, jih napraviš dolge 1 - jih tako, da jih deliš z njihovo dolžino.
Primer, za vektor \((1,4,8)\):
Ta vektor je dolg \(\left| v \right| = \sqrt{v \cdot v} = \sqrt{1 \cdot 1 + 4 \cdot 4 + 8 \cdot 8} = \sqrt{1 + 16 + 64} = \sqrt{81} = 9\)
Tako da če ga hočemo normalizirat, ga delimo z normalo - dolžino:
\((1,4,8) / 9 = (\frac{1}{9}, \frac{4}{9}, \frac{8}{9})\) in ga imamo znormaliziranga.
res ful hvala zelo mi pomagate sej ta matematka, pol k jo zaštekaš je ful fajn, sam pr men traja, da neki pogruntam
Zdej me pa čakajo preslikave med vektorskimi prostori
k vrjetno spet ne bom kej velik razumela... tko, da se vrjetno spet kej oglasim...
aja, a s takimi posti slučajo smetim po forumu? a nej bi blo to namejnen izključno odgovorom in vprašanjem, kajti če je tko, me kr zbrište...
LP
zelo mi pomagate sej ta matematka, pol k jo zaštekaš je ful fajn, sam pr men traja, da neki pogruntam Zdej me pa čakajo preslikave med vektorskimi prostori
k vrjetno spet ne bom kej velik razumela... tko, da se vrjetno spet kej oglasim...aja, a s takimi posti slučajo smetim po forumu? a nej bi blo to namejnen izključno odgovorom in vprašanjem, kajti če je tko, me kr zbrište...
LP
Homogen sistem enačb je tak, pri kateremu je vsota enačbe na levi strani enaka 0. In če imaš m enačb, z n neznankami lahko tak sistem zložiš v matriko z n stolpci in m vrsticami. Potem pač delaš Gaussov postopek na vrsticah, da ti ostanejo samo linearno neodvisni vektorji, ki jih pač izpišeš. Ti določajo bazo tistega kandidata za podprostor.
Zdej, kako določiš ali je podprostor od nekega prostora res to, za kar se izdaja, je malo širok pojem. Zato v splošnem je vektorski podprostor nekega prostora nekako zožana množica originalnega prostora, ki pa ima še vedno njegove lastnosti.
Najboljše je, da daš konkretno nalogo, da lahko konkretno odgovorimo
Zdej, kako določiš ali je podprostor od nekega prostora res to, za kar se izdaja, je malo širok pojem. Zato v splošnem je vektorski podprostor nekega prostora nekako zožana množica originalnega prostora, ki pa ima še vedno njegove lastnosti.
Najboljše je, da daš konkretno nalogo, da lahko konkretno odgovorimo
hvala naloga je bla tko na splošno podana.
Zdej pa spet neki ne znam
-Preveri injektivnost, surjektivnost in izomorfnost linearne preslikave
-Ugotovi ali pripada naslednji vektro zalogi vrednosti dane linearne preslikave. Odgovor utemelji.
se opravičujem, ker je mal čudno skenirano. Sam upam, da se vseen vidi
naloga je bla tko na splošno podana.Zdej pa spet neki ne znam
-Preveri injektivnost, surjektivnost in izomorfnost linearne preslikave
-Ugotovi ali pripada naslednji vektro zalogi vrednosti dane linearne preslikave. Odgovor utemelji.
se opravičujem, ker je mal čudno skenirano. Sam upam, da se vseen vidi
