Vektorski prostori

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
Mafijec
Prispevkov: 472
Pridružen: 12.12.2005 21:36

Odgovor Napisal/-a Mafijec »

\(x^2 - 3y^2 +4yz = 1\)

Se to reši podobno?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Enako. Ce to z necim izenacis samo gledas "izohipso". To je lahko par premic, hiperbola ali elipsa, v tvojem 3D primeru pa neizrojena ploskev drugega reda (hiperboloid, elipsoid, valj,...), pac odvisno od predznakov. Ti moras samo spravit v kvadratno obliko in pogledat kaj to je in kam je usmerjeno.

Uporabniški avatar
Mephisto
Prispevkov: 268
Pridružen: 31.1.2006 14:15
Kraj: Skopo

Odgovor Napisal/-a Mephisto »

Aniviller:
Včeraj smo imeli izpit iz Algebre I in je bila ena naloga s kvadratnimi formami. Ne spomnem se točne enačbe krivulje drugega reda. Uglavnem, karakteristični polinom simetrične prirejenke od enačbe je bil:
\($$-y^3 + 2y^2 + 10y - 12$$\)
Ta polinom pa nima realnih ničel - torej ni realnih lastnih vrednostih. A je taka naloga rešljiva? Polinom sigurno ni narobe izračunan, ker smo preverili skupaj s sošolci in je sigurno ta.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Take naloge sploh ni! Teorija pravi da realna simetricna matrika ne more imeti kompleksnih lastnih vrednosti! Tako da nekaj bi bilo zagotovo narobe. Ce je matrika simetricna, potem ima polinom realne nicle (vas polinom je tak), drugace ste pa matriko zapisali narobe.
Z drugimi besedami: vas polinom ima realne nicle, samo programski paketi ne znajo poenostaviti resitve. Ce ste delali z Mathematico, potem poglej se N[%,100] in vidis da so resitve realne.
lp, Aniviller

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Mimogrede, splosen problem pridobivanja analiticnih resitev polinoma 3. stopnje je da dobis resitve preko kompleksnih korenov. V vecini primerov je dobljena resitev neuporabna. Ce ni ocitnih resitev se take probleme resuje numericno. Konkretne lastne vrednosti za vas karakteristicni polinom pridejo:
\(\lambda_1\approx 1.092\)
\(\lambda_2\approx -2.892\)
\(\lambda_3\approx 3.800\)
Ne vem pa kaj taka naloga pocne na izpitu. Verjetno ni bil cilj asistenta da bi student uporabljal numericne metode ali pa iskal analiticno resitev polinoma 3. stopnje :? :roll:

Uporabniški avatar
Mephisto
Prispevkov: 268
Pridružen: 31.1.2006 14:15
Kraj: Skopo

Odgovor Napisal/-a Mephisto »

Hmm...ful čudno, ker matrika je bila 100% simetrična, ter realna. Ne ne, nismo nič delali na računalnik, vse na roke. Jzt sm s Hornerjem celo preveru vse celoštevilske kandidate za ničle (+-1,2,3,4,6,12) :D No, mogoče sem se kje zmotil, sam potem se je zmotilo še ene 5 sošolcev, kar bi bilo malo čudno (vsi smo neodvisno prišli do istega polinoma). Bom poskusu izvedet točno navodilo naloge!

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Saj matrika in polinom sta verjetno pravilna. Mogoce je bila naloga sestavljena tako da je polinom tezko resljiv. Nekdo naj pac vprasa asistenta za resitev te naloge. Bo ze opazil problem, ce ta obstaja.
Pa kadar nisi ziher ce ima polinom 3 realne nicle, si ga narisi (lahko tudi rocno).

Uporabniški avatar
Mephisto
Prispevkov: 268
Pridružen: 31.1.2006 14:15
Kraj: Skopo

Odgovor Napisal/-a Mephisto »

Evo, dobil sem besedilo naloge. Enačba je naslednja:
\($$2x^2 - y^2 + z^2 + 2yz - 4xz + 4xy =1$$\)
Treba je ugotovit katero krivuljo predstavlja...sej to ni važno. Torej, ali ima simetrična prirejenka "normalne" lastne vrednosti?
Jzt sem naredil prirejenko takole (se opravičujem, ker ne znam v TeXu delati matrik):
\($$2 2 -2 \\2 -1 1 \\-2 1 1$$\)
Za to matriko pride karakt. polinom kot sem ga že prej zapisal, torej:
\($$-x^3 + 2x^2 + 10x - 12\)

Sedaj sklepam, ali sem (smo) narobe naredili matriko, ali pa naloga ni rešljiva v okviru našega znanja.
Aniviller?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Matrika je O.K., polinom tudi. Ocitno sestavljalec naloge pac ni poskusal preveriti ali je naloga resljiva brez uporabe skrajnih sredstev.

Uporabniški avatar
Mephisto
Prispevkov: 268
Pridružen: 31.1.2006 14:15
Kraj: Skopo

Odgovor Napisal/-a Mephisto »

Evo, dobil sem odgovor od asistenta kako se reši naloga:
"Pozdravljen!

Naloga je resljiva z metodo zdruzevanja v popolne kvadrate, za kar ne
potrebujemo niti matrike, temvec enacbo le preuredimo v obliko
AX^2+BY^2+CZ^2=1, kjer so X,Y,Z linearne kombinacije spremenljivk
x,y,z. Potem iz predznakov koeficientov A,B in C sledi, kaksno ploskev
enacba predstavlja!

LP"

Kako pa gre tole?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Tole je ugibanje, ki se vcasih obnese. Mesane clene poskusas dobiti kot srednji clen kot pri (x+y)^2=x^2+2xy+y^2. Naceloma je pa metoda ista kot ta z lastnimi vrednostmi. Vendar dvomim da s to metodo dobis npr.
\(X=-1.637093370x -0.4737453392y+ z\)
Mogoce spregledujem kaj ocitnega ampak na ta nacin resitve ne dobim. :?

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Izgleda, da je važno prav to, katero ploskev predstavlja enačba, ne pa točen izračun lastnih vrednosti. Samo po predlagani metodi tudi jaz ne dobim česa uporabnega, da bi lahko rekel, katera ploskev je.

Uporabniški avatar
Mephisto
Prispevkov: 268
Pridružen: 31.1.2006 14:15
Kraj: Skopo

Odgovor Napisal/-a Mephisto »

Ja ja, se opravičujem, naloga je zahtevala da ugotovimo katero ploskev predstavlja in pa natančno narisati ploskev pri z=0.

Emm, mi poveste kako se z predznaki ugotovi katera ploskev je?

ZdravaPamet
Prispevkov: 2841
Pridružen: 16.8.2004 19:41

Odgovor Napisal/-a ZdravaPamet »

Tvoja je tipa enodelni hiperboloid. Na googlu vtipkaj ploskve drugega reda. Našel sem tole stran, kjer so lepe slikce:
http://www.dmfa.si/www_zeljko/PloskveIIreda.pdf
http://www.fmf.uni-lj.si/~kosir/pouceva ... vforme.pdf
http://mathworld.wolfram.com/QuadraticSurface.html
Anivilerjeve rešitve kažejo na to, da sta dve lastni vrednosti pozitivni ena negativna. Se pravi, da bo približno nekaj takega \(w^{2}-u^{2}+3v^{2}=1\), kar pa je enodelni hiperbolid.

Uporabniški avatar
Mephisto
Prispevkov: 268
Pridružen: 31.1.2006 14:15
Kraj: Skopo

Odgovor Napisal/-a Mephisto »

Še eno vprašanje v zvezi z vektorskimi prostori:
Kaj je fora invariantnih prostorov? Ja, poznam definicijo, da je V, ki je podprostor U invarianten za endomorfizem A, kadar velja da je Av v U, za vsak v iz V.
Ampak zanima me ali imajo invariantni prostori kakšne posebne lastnosti, da bi se jih sploh splačalo omenjat (ja, sej vem da verjetno jih imajo, sam jih nisem zasledil, ali pa sem slep...kar ni izključeno).

Odgovori