Kvarkadabra forum

1.) Ce napises po komponentah vidis da preslikavo \(\mathscr{A}\) predstavlja matrika
\(A=\begin{bmatrix}25&5&5\\5&1&1\\5&1&1\end{bmatrix}\)
Stolpci so sorazmerni, zato je determinanta matrike 0. To pomeni, da preslikava ni injektivna ali surjektivna, ker nekatere vektorje preslika v 0. Torej tudi izomorfna ni (ker ni bijektivna).

2.)Ce napisemo preslikavo z zgornjo matriko, je enacba oblike
\(Ax=b;\quad b=\{-1,2,3\}^T\)
Zapisemo po komponentah:
\(\begin{array}{rcccr}
25x_1+5x_2+5x_3&=&b_1&=&-1\\
5x_1+x_2+x_3&=&b_2&=&2\\
5x_1+x_2+x_3&=&b_3&=&3\end{array}\)
Zadnji dve enacbi sta ocitno protislovni, torej \(b\) ni v zalogi vrednosti preslikave. S tem je tudi dokazana surjektivnost preslikave (nasli smo element, kamor preslikava ne preslika nicesar).

Res vam najlepša hvala za vse odgovore zelo mi pomagate, čeprav mojih vprašanj pa kar ne zmanjka...

Kako naj utemeljim, da trije vektorji, od katerih nobeden ni vzporeden z kakšno ravnino, s katero sta vzporedna preostala dva, so linearno neodvisni?

sej to je pa prakticno ze definicija (= mnozica vektorjev je linearno neodvisna, ce nobeden ni linearna kombinacija preostalih): ce bi bli linearno odvisno pol bi bli v isti ravnini (v 3-razseznem prostoru so linearno odvisni natanko kadar lezijo na isti ravnini), ker pa niso (podatek) potem so linearno neodvisni.

Tkole bi slo zares:
Vzames dva od njih in dobis ven normalo ravnine: \(\vec{n}=\vec{a}\times\vec{b}\).
Ce je vektor vzporeden z ravnino, je skalarni produkt z normalo enak 0.
Ker smo rekli, da \(\vec{c}\) ni vzporeden s to ravnino, ga lahko zapisemo v obliki
\(\vec{c}=\alpha\vec{a}+\beta\vec{b}+\nu\vec{n};\quad \nu\neq0\)
Zdaj pa ni tezko dokazati da so linearno odvisni:
\(A\vec{a}+B\vec{b}+C\vec{c}=0\)
\((A+C\alpha)\vec{a}+(B+C\beta)\vec{b}+C\nu\vec{n}=0\)
Ker so \(\vec{a},\vec{b},\vec{n}\) ze linearno odvisni, morajo biti koeficienti spredaj enaki 0, to je pa res le, ce je res \(A=0,B=0,C=0\), kar je dokaz linearne neodvisnosti za \(\vec{a},\vec{b},\vec{c}\).
A,B,C so tukaj realna stevila, ne matrike.

lep pozdrav vsem skupi!!

js mam tut neki problemčkov z matrično..in sicer...če je razsežnost število neodvisnih vektorjev, kar lahko dobimo iz ranga, kaj je pol n-terica (a so to recimo koordinate ki sestavljajo vektor) in akj dejansko pove prostor Vn (n je un indeks).pa je ta n enak n-ju iz n-terice?
pa recimo če mamo 4 vektorje v prostoru V3,pa ma vsak vektor posebi tri koordinate in mormo ugotovit, če tvorijo bazo prostora, pol dejansko sestavmo te vektorje skupi, zračunamo rang, (ki je (max: 3?!)in pol lahko rečemo da tvorijo vsi štirje vektorji bazo ali jo tvorijo trije vektorji od teh štirih?

js se vam že vnaprej zahvaljujem in se veselim veših odgovorov : )
lepo se mejte.

nika

LP,
imam problem pri podobni nalogi, katera se glasi: "Ugotovi, ali množica A sestavlja bazo vektorskega prostora V, če so:


Kako naj določim če so vektorji linearno neodvisni in generirajo ves prostor V, glede na to, da naj bi bilo napreprosteje določiti linearno odvisnost s pomočjo determinante, katere pa mi v tem primeru ne uspe dobiti


Družboslovci in matematika

Seveda, ce je en vektor odvec.

Pozdravljeni! Imam en matematicni problemcek in bi bila zelo zelo hvalezna ce bi mi kdo pomagal..Ne znam resiti dveh nalog:



in pa se nekaj me zanima..Pac imam podano neko preslikavo A: V3-->V3 kateri pripada v standardni bazi matrika


in me zanima ce je preslikava injektivna? surjektivna vem da je, ker je rang enak razseznostnemu prostoru..injektivnosti pa ne znam ugotoviti...Tako, da ce se komu ljubi mi tole pomagat resit bom zelo hvalezna!

Jasna

Ce sta prostora enako velika, potem je surjektivna preslikava tudi injektivna. Ker nobenega vektorja v drugem prostoru ne dobis dvakrat, prostora pa sta enako velika, ti noben vektor ne ostane.
Z drugimi besedami: kvadratna matrika s polnim rangom je obrnljiva, torej je preslikava bijektivna.

Injektivnost pa drugače preverjaš tudi tako, da pogledaš jedro preslikave (tiste vektorje, ki se preslikajo v 0). Če je noter samo ničelni vektor, potem je preslikava injektivna.

hvalaaaaaaa hvala za pomoc!! sem koncno uspela resit vse, juhu.

lp, jasna

okej...se eno vprasanje imam.. kaj cepreslikava ni surjektivna, saj rang in razseznost prostora nista enaka (rang je 2, razseznost pa 3)..kako potem ugotoviti injektivnost?'??

lp, jasna

Tako kot sem napisal jaz.
Ogledaš si jedro matrike, ki predstavlja tvojo preslikavo. Jedro (angl. kernel) so ravno tisti vektorji, ki se preslikajo v ničelni vektor (če je A tvoja dana matrika, si ogledaš kdaj velja Ax = 0, kjer je x nek poljuben vektor (linearen sistem enačb)). Če je v jedru samo ničelni vektor, potem je preslikava injektivna.
Zunanja pomoč v angleščini pa tukaj (imej v glavi, da je jedro po angleško kernel):
http://www.math.lsa.umich.edu/~hochster/419/ker.im.html
http://www.egwald.com/linearalgebra/vectors.php

Imam eno nalogo ki je ne znam rešiti:

Naj bo n>= 4 in R_n[x] vektorski prostor vseh polinomov stopnje največ n. Dana je množica U={p element R_n[x];p(1)=p(-1),P"(0)=2p(1)}.
a)Dokaži da je U vektorski podprostor. To znam rešit.
b)Poišči kakšno bazo prostora U in določi dimU. To tudi znam rešit.
c)Dopolni bazo U do baze vsega R_n[x]. Te pa že ne znam več.

Odvisno kaksno bazo si nasel. Polinomi s stopnjo vecjo od obstojecih so avtomatsko linearno neodvisni od njih. Ce si pazil da imajo vsi bazni polinomi razlicne stopnje, potem samo dodas tiste stopnje ki manjkajo. Recimo ce imas

1,x^3+x^2,x^6-3
potem lahko suvereno dodas
x,x^2,x^4,x^5,x^7,x^8,....