integral zvezne funkcije

O matematiki, številih, množicah in računih...
Odgovori
eros
Prispevkov: 30
Pridružen: 16.1.2004 13:13
Kraj: Velenje
Kontakt:

integral zvezne funkcije

Odgovor Napisal/-a eros »

Pozdravljeni!
Malo sem se igral z integrali funkcij, ki jih ni možno izraziti z elementarnimi funkcijami. Na grafu funkcije \(\displaystyle\int_{}^{} sin{ 1 \over \sqrt{x}}\, dx\) sem opazil nekatere predele, ki niso zvezni! Kar pogostokrat so bili nekateri predeli grafa vzporedno zamaknjeni stran od prevladujoče črte. Ampak če graf predstavlja integral nečesa kar je zvezno mora biti odvedljiv (\(sin{ 1 \over \sqrt{x}}\) je zvezna na pozitivnem delu x osi). Zveznost je pa pogoj za odvedljivost! Graf mi je izrisoval Derive 6. Zakaj ta integral ni zvezen, če \(sin{ 1 \over \sqrt{x}}\) je?

LP Rok

Uporabniški avatar
vid
Prispevkov: 89
Pridružen: 4.2.2005 21:58
Kraj: ljubljana
Kontakt:

Odgovor Napisal/-a vid »

Ti si torej najprej izracunal tale integral \(\int_{}^{}\sin(\frac{1}{\sqrt(x)})\;dx\) in potem funkcijo narisal?
Sam sem to naredil z maplom, pa je vse videt vredu. Kje priblizno pa dobis nezveznosti?

Za tistle integral dobim tole resitev:
\(A=\int_{}^{}\sin(\frac{1}{\sqrt(x)})\;dx = \sin(\frac{1}{\sqrt(x)})\;x + \cos(\frac{1}{\sqrt(x)})\;\sqrt(x) + Si(\frac{1}{\sqrt(x)}).\)
kjer je \(Si(x)=\int_{0}^{x}\frac{\sin x}{x}\;dx\) integralni sinus.
Ce integriras samo po pozitivni realni osi odstejes od A se konstanto \(\frac{\pi}{2}\)
Graf A pa je na pozitivni realni osi zvezna (na negativni sploh ni definirana funkcija).

eros
Prispevkov: 30
Pridružen: 16.1.2004 13:13
Kraj: Velenje
Kontakt:

Odgovor Napisal/-a eros »

No stvar je taka, da sem enostavno napisu \(y=\displaystyle\int_{}^{}sin\frac{1}{\sqrt{x}}}dx\)! In dobil sem stvar izrisano! O računanju tegale integrala nebi dosti vedel, ker sem šele končal 3. letnik gimnazije!
A kje so te nezveznosti – ena vidna "že na daleč" je v okolici točke x=3,25 (preskok je približno med x=3,250 do 3,254)! Številne druge sem pa opazil pri dosti nižji skali s tem da sem zoomiral.

LP Rok

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Tvoja funkcija je zvezna in njen integral je zvezen, kjer je definiran (0,inf). Integracija vedno se poveca stopnjo gladkosti krivulje. Tvoje nezveznosti verjetno izhajajo iz numericnih napak. Blizu nic namrec integrand oscilira zelo hitro in moras integrirati na gosto ce hoces dobiti dober rezultat. V takih primerih ko se ti oscilacije neskoncno zgostijo okrog dolocene tocke je numericna integracija nehvalezno opravilo.
Skratka, tukaj ti teorija brez dvoma pove da mora biti integral zvezno odvedljiv.

Uporabniški avatar
kren
Prispevkov: 1651
Pridružen: 17.2.2005 12:54

Odgovor Napisal/-a kren »

Integracija vedno se poveca stopnjo gladkosti krivulje.
kaj pa je to stopnja gladkosti krivulje?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Koliko odvodov obstaja/je zveznih. No, erosova funkcija je itak neskoncnokrat zvezno odvedljiva...

Odgovori