No saj to je to - cista linearna algebra. To splosno formulo lahko zapises v obliki ortogonalne matrike,
\(R_{ij}=\cos\phi\delta_{ij}+(1-\cos\phi)v_iv_j+\epsilon_{ijk}v_k \sin\phi\)
Formula je odlicna, ker je edina oblika, kjer dejansko poves kot in os - vecina ostalih virov vedno poskusa vsiljevat sfericne koordinate, kompozicijo Eulerjevih kotov,... kar niti priblizno ni simetricno (vrtis okrog posebej izbranih osi, da dosezes zeljeni rezultat).
Seveda lahko najdes transformacijo, ki preslika smer (1,1,1) v (0,0,1), potem zasukas okrog z osi in pomnozis s transponirano verzijo prvotne matrike. Ampak tukaj gre za izmisljevanje transformacij - in ce vse te matrike zmnozis, dobis zgornjo stvar nazaj.
Kako to zavrtet? Ena moznost je, da najdes dva vektorja, pravokotna na (1,1,1) - gram-schmidt ali inspiracija. Bolje inspiracija:
(1,-1,0)
in
(1,1,-2)
Vse tri vektorje normiras in uredis v ustrezen vrstni red, da tvorijo desnosucni ortogonalni koordinatni sistem. To so potem vrstice transformacijske matrike, ki slika (1,1,1) v (0,0,1), ostala dva pa v (1,0,0) in (0,1,0). Ta izbira seveda ni unikatna ampak na ker na koncu mnozis s transponiranko te matrike, v vseh izbirah dobis isti rezultat, je pa ta izbira ena izmed elegantnejsih.
Kot rotacije
Re: Kot rotacije
Hvala za temeljito razlago...vseeno me pa zanima, zakaj ne dobim prave rešitve.
Matrika rotacije v novih bazah se glasi(ortogonalna transformacija je v mojem primeru označena z R):
\([R;B,B]= \left| \begin{array}{ccc}
1& 0 & 0 \\
-1&cos\alpha &-sin\alpha\\
-1&sin\alpha & cos\alpha\end{array} \right|.\)
Nova baza B je sestavljena iz naslednjih vektorjev: a=(1,-1,-1)--->os rotacije, ki ostane enaka, b=(1,0,1), c=(1,0,-1).
te vektorje sem zapisal v stolpce prehodne matrike, izračunal njej obratno matriko in vse skupaj zmnožil.
Matrika rotacije v novih bazah se glasi(ortogonalna transformacija je v mojem primeru označena z R):
\([R;B,B]= \left| \begin{array}{ccc}
1& 0 & 0 \\
-1&cos\alpha &-sin\alpha\\
-1&sin\alpha & cos\alpha\end{array} \right|.\)
Nova baza B je sestavljena iz naslednjih vektorjev: a=(1,-1,-1)--->os rotacije, ki ostane enaka, b=(1,0,1), c=(1,0,-1).
te vektorje sem zapisal v stolpce prehodne matrike, izračunal njej obratno matriko in vse skupaj zmnožil.
Re: Kot rotacije
Še dve vprašanji, ki se nanašajo na vašo razlago:
1.)Zakaj je potrebno vektorje normirati?
2.)Zakaj zapišemo nove bazne vektorje kot vrstice matrike in ne kot stolpce(pri zrcaljenju vem, da jih zapišem kot stolpce)?
1.)Zakaj je potrebno vektorje normirati?
2.)Zakaj zapišemo nove bazne vektorje kot vrstice matrike in ne kot stolpce(pri zrcaljenju vem, da jih zapišem kot stolpce)?
Re: Kot rotacije
Nekaj je narobe, tvoja koncna matrika ni ortogonalna. Zacetnih vektorjev nisi izbral ortogonalnih (c ni ortogonalen na a). Ce tretjega vektorja ne uganes, lahko vedno reces kar \(c=a\times b\) in bo v redu.
1) Normirat jih moras, ker so rotacijske matrike vedno ortonormirane (normirani stolpci in vrstice, ki so ortogonalni med seboj).
2) To je samo odvisno od tvoje definicije prehodne matrike (ali slika iz standardne baze v novo bazo ali obratno). Ce je prehodna matrika T, rotacija okrog ene glavne koordinatne osi R, in pises transformacijo kot
\(\vec{v}'=T^T R T\vec{v}\)
potem so vrstice T-ja bazni vektorji nove baze. Ce si izberes obratno definicijo,
\(\vec{v}'=T R T^T\vec{v}\)
ki je res nekoliko bolj standardna, potem jih imas v stolpcih. Ker je zelo enostavno stvari pomesat in razlicni viri uporabljajo razlicne definicije, je vedno smiselno preverit, ali imas prav postavljeno glede na tvojo izbiro formule.
1) Normirat jih moras, ker so rotacijske matrike vedno ortonormirane (normirani stolpci in vrstice, ki so ortogonalni med seboj).
2) To je samo odvisno od tvoje definicije prehodne matrike (ali slika iz standardne baze v novo bazo ali obratno). Ce je prehodna matrika T, rotacija okrog ene glavne koordinatne osi R, in pises transformacijo kot
\(\vec{v}'=T^T R T\vec{v}\)
potem so vrstice T-ja bazni vektorji nove baze. Ce si izberes obratno definicijo,
\(\vec{v}'=T R T^T\vec{v}\)
ki je res nekoliko bolj standardna, potem jih imas v stolpcih. Ker je zelo enostavno stvari pomesat in razlicni viri uporabljajo razlicne definicije, je vedno smiselno preverit, ali imas prav postavljeno glede na tvojo izbiro formule.
