Matematika pomoč!

O matematiki, številih, množicah in računih...
Post Reply
mujagic
Posts: 14
Joined: 11.9.2006 11:33
Location: Jesenice
Contact:

Matematika pomoč!

Post by mujagic » 11.9.2006 12:09

Pozdravljeni!

Prosil bi nekoga ki bi znal rešiti spodnje tri naloge, namreč 19.9. pisem izpit iz matematike 2 in spodnje naloge ne znam resiti. Če bi naredil izpit iz matematike 2 bi imel pogoj opravljen zato prosim nekoga da bi pomagal.
:oops:
LP, damjan



1.-
Izracunaj projekcijo (kot vektor) tretjega vektorja na vektorski produkt prvih dveh vektorjev:
1. {1,1,0} 2. {0,4,0} 3. {1,1,3}


2.-
Narisi nivojske krivulje z=0, z=1, z=2, z=3, kjer je z funkcija spremenljivk x in y, podana z izrazom: f(x,y)= (3-x-y)

približno nariši resitev diferencialne enacbe y'=f(x,y), ki gre skozi tocko (0,0).


3.-
Doloci radij in visino valja z najvecjim volumnom, ki ga lahko vcrtas v kroglo z radijem 1.

Naloge so iz Fakultete za elektrotehniko, Matematika 2.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Post by Aniviller » 11.9.2006 13:09

1.
Vektorski produkt prvih dveh vektorjev:
\(\vec{d}=\vec{a}\times\vec{b}=\begin{vmatrix}i&j&k\\1&1&0\\0&4&0\end{vmatrix}=\{0,0,4\}\)
Projekcijo izracunas takole:
\(\vec{p}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{d}}{\vec{d}\cdot\vec{d}}\vec{d}\)
Drugace povedano, d moras normirati, ker je pomembna le njegova smer, zato je spodaj kvadrat njegove dolzine, od vsakega d enkrat.
\(\vec{p}=\frac{12}{16}\{0,0,4\}=\{0,0,3\}\)

2.
Vstavis z.
\(z=0=3-x-y\Rightarrow y=3-x\)
\(z=1=3-x-y\Rightarrow y=2-x\)
Vse troje so premice
itd...
Priblizno resitev dobis z razvojem v vrsto (okrog x=0):
\(y=y(0)+y'(0)x+\frac{1}{2}y''(0)x^2+\cdots\)
\(y''=(y')'=f'(x,y)=-1-y'=-1-f(x,y)\)\(=-1-(3-x-y)=-4+x+y\)
\(y=0+(3-0-0)x+\frac{1}{2}(-4+0+0)x^2+\cdots\)
\(y\approx 3x-2x^2\)
Pa se naprej bi se dalo.
Drugace je pa enacba linearna in ni problem dobiti eksaktno resitev.

3.
Ce si narises navpicen presek skozi sredisce krogle, dobis krogu vcrtan pravokotnik.
Dobis da za radij valja r in visino h velja:
\(r^2+\frac{1}{4}h^2=R^2=1\)
Volumen se pise:
\(V=\pi r^2 h\)
Vstavis zgornji izraz:
\(V=\pi (1-\frac{h^2}{4})h\)
Z odvodom isces ekstrem
\(V'=\pi (1-\frac{3h^2}{4})=0\)
\(h=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)
Uporabis prvo zvezo in izluscis se r:
\(r=\sqrt{1-\frac{1}{4}h^2}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)

mujagic
Posts: 14
Joined: 11.9.2006 11:33
Location: Jesenice
Contact:

Post by mujagic » 11.9.2006 13:29

Hvala ti za hitro pomoč :wink:

lp

mujagic
Posts: 14
Joined: 11.9.2006 11:33
Location: Jesenice
Contact:

Post by mujagic » 11.9.2006 14:10

Se enkrat bi te prosil za pomoč pri drugi nalogi, ne vem kako naj narisem. po tisti formuli
\(y = 3-x\)
\(y = 2-x\), itd...
in
\(y=3x-2x^2\)

to je resitev iz izpita
Image

LP, damjan

Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Post by Mafijec » 11.9.2006 17:56

Matematika 2 - to je FE UNI ali FE VŠ

mujagic
Posts: 14
Joined: 11.9.2006 11:33
Location: Jesenice
Contact:

Post by mujagic » 11.9.2006 18:17

FE VŠ :)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Post by Aniviller » 11.9.2006 19:23

Ce ne gre drugace, izracunaj nicle, ekstreme, vrednosti y v nekaj vmesnih tockah in potegni cez krivuljo. S premicami pa upam da nimas tezav.
Za obmocje do x=4, kot je v resitvi ni dovolj priblizek dveh clenov, predlagam vsaj se enega.

mujagic
Posts: 14
Joined: 11.9.2006 11:33
Location: Jesenice
Contact:

Post by mujagic » 11.9.2006 20:57

Aniviller še enkrat ti hvala

damjan

mujagic
Posts: 14
Joined: 11.9.2006 11:33
Location: Jesenice
Contact:

Post by mujagic » 12.9.2006 16:35

Aniviller prosil bi te če imaš čas da bi mi na hitro razloži kako si prišel
do te enačbe \(y\approx 3x-2x^2\) , in če bi lahko izračunal še en člen.
Men te vrste ne grejo najbol :cry:

Priblizno resitev dobis z razvojem v vrsto (okrog x=0):
\(y=y(0)+y'(0)x+\frac{1}{2}y''(0)x^2+\cdots\)
\(y''=(y')'=f'(x,y)=-1-y'=-1-f(x,y)\)\(=-1-(3-x-y)=-4+x+y\)
\(y=0+(3-0-0)x+\frac{1}{2}(-4+0+0)x^2+\cdots\)
\(y\approx 3x-2x^2\)

Učer sm se matrou ene par ur pa ne razumem kako prideš do te rešitve.

lp

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Post by Aniviller » 12.9.2006 17:44

Taylorjeva vrsta je oblike:
\(y(x)=y(x_0)+y'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}y''(x_0)(x-x_0)^2+\)\(\frac{1}{3!}y'''(x_0)(x-x_0)^3+\ldots\)
Verjetno vidis da je splosni n-ti clen enak:
\(\frac{1}{n!}y^{(n)}(x-x_0)^n\)
(n) pri y pomeni da n-krat odvajas.
n! je fakulteta stevila (produkt naravnih stevil do n)

V tvojem primeru imas podano:
\(y'(x,y)=3-x-y\)
Izhodisce {0,0} pomeni da razvijas okrog 0 in je \(x_0=0\) in \(y(x_0)=0\).

Prvi clen:
\(y(x)=y(x_0)+\ldots=\)
\(0+\cdots\)

Za naslednji clen vstavis odvod, ki ga imas podanega, izracunanega v {0,0}
\(y(x)=0+y'(x_0,y(x_0))x+\ldots=(3-0-0)x+\ldots\)
\(=0+3x+\ldots\)

Drugi odvod dobis z odvajanjem prvega odvoda
\(y''=(y')'=(3-x-y)'=0-1-y'\)
Za y' vstavis kar imas podano (3-x-y)
\(y''=-1-y'=-1-(3-x-y)=-4+x+y\)
\(y(x)=0+3x+\frac{1}{2}y''(x_0,y(x_0))x^2+\ldots=\)\(0+3x+\frac{1}{2}(-4-0-0)x^2+\ldots=\)
\(0+3x-2x^2+\ldots\)

Tretji odvod dobis tako da odvajas drugega
\(y'''=(y'')'=(-4+x+y)'=1+y'\)
Za y' spet vstavis podano funkcijo
\(y'''=1+(3-x-y)=4-x-y\)
\(y(x)=0+3x-2x^2+\frac{1}{6}y'''(x_0,y(x_0))x^3+\ldots=\)
\(0+3x-2x^2+\frac{1}{6}(4-0-0)x^3+\ldots=0+3x-2x^2+\frac{2}{3}x^3+\ldots\)

Cetrti odvod podobno
\(y^{(4)}=(y''')'=(4-x-y)'=-1-y'=\)\(-1-(3-x-y)=-4+x+y\) (ta odvod je isti kot y'', od tu naprej se bo ponavljalo, vendar to ne velja v splosnem.)
\(y(x)=0+3x-2x^2+\frac{2}{3}x^3+\frac{1}{24}(-4+0+0)x^4+\cdots=\)
\(0+3x-2x+\frac{2}{3}x^3-\frac{1}{6}x^4+\ldots\)

Zdaj lahko za vajo nadaljujes. Mogoce je malo nepregledno ker je clenov vedno vec.

mujagic
Posts: 14
Joined: 11.9.2006 11:33
Location: Jesenice
Contact:

Post by mujagic » 14.9.2006 23:27

Aniviller hvala ti za pomoč, samo nekaj bi te še prosil
k vidm da ti vrste grejo.

Ali bi povedal kako resis to nalogo:

Napiši prve 3 clene binomske vrste za priblizni izracun n-tega korena pri n=2:

\(28^\frac{1}{n}\)

taka rešitev je podana na izpitu:
Image

{\(x=\frac{3}{25}, n=2\)}

LP,damjan

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Post by Aniviller » 15.9.2006 9:00

Binomska je ena izmed 4 vrst ki jih moras vedeti na pamet, priporocam...

Tudi v tem primeru gre za taylorjevo vrsto.
Razvoj zapises za binom b obliki (v splosnem naj bo potenca m, potem vstavis m=1/n)
\(y=(1+x)^m\)

Ce racunas odvode, dobis po vrsti spredaj m, m(m-1), m(m-1)(m-2), ker se potenca z odvajanjem znizuje. Lahko tudi preveris.
(npr. \(y'(x)=m(1+x)^{m-1}\quad y'(0)=m(1+0)^{m-1}=m\))

Vrsta pride:
\(y=1+\frac{m}{1!}x+\frac{m(m-1)}{2!}x^2+\frac{m(m-1)(m-2)}{3!}x^3\)\(+\frac{m(m-1)(m-2)(m-3)}{4!}x^4+\ldots\)
Lahko pa napises v splosnem
\(y=\sum_{k=0}^\infty {m \choose k} x^k\), pri cemer binomski simbol za poljuben m (tudi ce ni naravno stevilo) zapises:
\({m \choose k}=\frac{m(m-1)\cdots(m-k+1)}{k!}\)

Za primer m=1/2, kar je kvadratni koren, lahko delno ze korenis, najblizji kvadrat je 25, torej \(y=(25+3)^{1/2}=5\cdot(1+\frac{3}{25})^{1/2}\)
Lahko bi izbral tudi katerokoli drugo varianto (36(1-(8/36)^(1/2),...), vendar ima ta najnizji x in rabis najmanj clenov za dokaj pravilen rezultat.

Ce se vse skupaj zmnozis s petko spredaj in izpises prve 3 clene, dobis rezultat iz resitev.

\(y=5(1+\frac{1}{n}x+\frac{(1/n)(1/n-1)}{2}x^2+\frac{(1/n)(1/n-1)(1/n-2)}{6}x^3+\ldots)\)
Zdaj vstavis se n=2
\(y=5+\frac{5}{2}x-\frac{5}{8}x^2+\frac{5}{16}x^3+\ldots\)
Priblizki po vrsti: 5, 5.3, 5.291, 5.29154
Pravilen rezultat na 5 decimalk pride 5.29150

Uradni rezultat izpita se mi zdi malo cuden, ker velja samo za n=2 (zakaj torej ne vstavijo?). Za npr. n=3 bi vzel 28=27+1 in bi prisla resitev \(y=3(1+\frac{1}{27})^{1/3}\)

mujagic
Posts: 14
Joined: 11.9.2006 11:33
Location: Jesenice
Contact:

Post by mujagic » 18.9.2006 14:09

Pozdravljen, imam se en problem :roll:

1.naloga

Doloci dimenzije valja z najvecjim volumnom, katerega površina je 6\(\pi\).

jaz sem poskušal takole:

P = 2*S+Obseg
\(P = 2*\pi*r(r+v)\)
\(6\pi = 2*\pi*r(r+v) /:2\pi\)
\(3 = r(r+v)\)
\(r^2 = 3-rv\)
\(V = \pi*(3-rv)*v\)
odvajam in iščem ekstrem(se mi zdi :D )
\(0 = 3*\pi-2*\pi*v\)
in dobim da je višina
\(v = \frac {3}{2}\)
od tu naprej pa vstavim višino v enačbo
potem pa ne znam naprej dobiti (r) :cry:

2.naloga
Doloci dimenzije valja z najvecjim volumnom, ki ga lahko vcrtaš v stozec z radijem 1 in višino 2?

stozec sem narisal kot trikotnik in izracunal kote potem pa sem uporabil podobnost trikotnikov in sem dobil da je r(radij valja)=0,875 in v(valja)=1,73 misliš da je prav?
in potem sem to vstavil v enačbo za volumen stozca.

ampak mislim da ni pravilno

LP,damjan

User avatar
kren
Posts: 1651
Joined: 17.2.2005 12:54

Post by kren » 18.9.2006 14:51

Pri prvi poskusi dobiti formulo za volumen odvisno le od radija (povrsina je konstantna, visina se da izrazit). Potem to odvajas in pogledas kje je ekstrem (ko je odvod 0, ali v krajiscih) in lahko dolocis radij, s tem pa tudi visino in volumen:

\(P = 2\pi rv + 2\pi r^2 \Rightarrow v = \frac{2\pi r^2 - P}{2\pi r}\)
\(V = \pi r^2v \Rightarrow V(r) = \frac{\pi r^2(2\pi r^2 - P)}{2\pi r}\)

Se da se poenostavit. Potem odvajas, pogledas moznosti za ekstrem,...

Druga je podobno, nacaras formulo za volumen valja (ki ustreza pogojem da je v tistem stozcu), odvajas in pogledas moznosti za ekstrem.

mujagic
Posts: 14
Joined: 11.9.2006 11:33
Location: Jesenice
Contact:

Post by mujagic » 18.9.2006 15:04

aha kul bom poskusu zk nardit to nalogo

uzivaj

Post Reply