Matematika pomoč!

O matematiki, številih, množicah in računih...
Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Post by Mafijec » 2.9.2008 12:42

Videti je, da sem. Se ti pojavi še vedno ta stara enačba?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika pomoč!

Post by Aniviller » 2.9.2008 12:48

Enacba je ze nova, ampak nima kosinus povsod plusov?

Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Post by Mafijec » 2.9.2008 13:45

Pred obema kosinusoma sta minusa.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika pomoč!

Post by Aniviller » 2.9.2008 14:11

Mislim tole:
\(\cos t=\tfrac{1}{2}(e^{it}\underbrace{+}_{!}e^{-it})\)
razen ce sem kje totalno falil.

Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Post by Mafijec » 2.9.2008 14:40

Ha! Prej sem narobe popravil!

fox
Posts: 91
Joined: 12.5.2008 1:45

Re: Matematika pomoč!

Post by fox » 2.9.2008 22:11

Dano je stevilo Z0 = 1/2 − i/2
Kaj lahko poveste o zaporedju (Z0)^n ? Kaj se dogaja, ko gre n -> Infinity?

fox
Posts: 91
Joined: 12.5.2008 1:45

Re: Matematika pomoč!

Post by fox » 2.9.2008 22:17

pa se eno vprasanje.vem da sem te to vprasal ampak mi nisi odgovoril na drugi del naloge
Funkcija f(x) je vsota potencne vrste Sum[an(x+2)^n,{n=0,\[Infinity]}] s
konvergencnim polmerom R = 4. Ali lahko dolocite funkcijo f(x), ce veste, da velja naslednja zveza
med koeficienti:n*an = a[n−1] za vsak n.


Hvala :)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika pomoč!

Post by Aniviller » 2.9.2008 22:42

Ko prepises v polarno je vse jasno:
\(z_0=\frac{1}{2}-\frac{i}{2}=2^{-1/2}e^{-i\frac{\pi}{4}}\)
Ko potenciras:
\(z_0^n=2^{-n/2}e^{-i\frac{n\pi}{4}}\)
Ko gres proti neskoncnosti gre rezultat proti nic, zato ker je \(z_0\) krajsi od 1 in potenciranje zmanjsuje dolzino. Polarni kot se pa vrti v negativno smer - osemkrat na obrat.

drugi del naloge je bil odgovorjen :)
Aniviller wrote:2. iz izpita:
Razvito je okrog -2 se pravi ima definicijsko obmocje (-6,2). Vrednost f(4) ni definirana, f(0) pa je, ker je znotraj obmocja. Potencne vrste absolutno konvergirajo v svojem obmocju, enako velja za vse njihove odvode. Vrsto odvajas po clenih.
\(f'(x)=\sum n a_n (x+2)^{n-1}\)

iz rekurzijske zveze zvemo, da je splosni clen \(a_n=\frac{a_0}{n!}\), funkcija je torej eksponentna, predfaktor moramo se dolociti z \(a_0\).
Vsak naslednji clen je prejsnji, deljen z n. To je ravno 1/n!

Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Post by Mafijec » 3.9.2008 12:29

\(2x * y'' + (3x - 4) * y' + (4 - 5x) * y = 0\)

Rešitev je \(y = C * e^x\).

Mathematica mi pa ven izpljuni:
\(y[x]\to e^{-5 x/2} x^3 C[1]\) \(\text{HypergeometricU}\left[\frac{6}{7},4,\frac{7 x}{2}\right]+e^{-5 x/2} x^3 C[2] \text{LaguerreL}\left[-\frac{6}{7},3,\frac{7 x}{2}\right]\)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika pomoč!

Post by Aniviller » 3.9.2008 12:56

Meni pa normalno resitev vrze ven. Lahko da je moja verzija (6) boljsa v poenostavljanju. Ta enacba ima namrec bolj slucajno tako enostavno resitev, zato ker se x lepo pokrajsajo. Mogoce kaksne linearne kombinacije tehle dveh resitev dajo eksponentno funkcijo, mogoce celo FullSimplify to spregleda (oz. so konstante C[1] in C[2] tako postavljene da ne more).

Ah, sem vstavil pa vidim da ne resi enacbe. Nekaj si zasral, kak predznak ali kaksen faktor. Ker gre za poseben primer, je tukaj takoj ce nekaj spremenis potrebno poseci po splosni resitvi, ki je hipergeometricna funkcija (pac ena izmed variant).

Seveda ima enacba se eno resitev, ki jo jaz brez tezav dobim iz Mathematice in ima isti eksponentni predfaktor kot tale packarija.

\(e^{-5x/2}(8+28x+49x^2)\)

Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Post by Mafijec » 3.9.2008 14:06

\(y[x]\to e^x C[1]-\frac{2}{343} e^{-5 x/2} \left(8+28 x+49 x^2\right) C[2]\)

Eeeek, res je, enačbo sem v Mathematico narobe prepisal. Namesto (4 - 5x) sem napisal (5 - 5x).

Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Post by Mafijec » 3.9.2008 19:36

\(\int_{0}^{\pi \over 2} ({ {sin(n * t)}\over {sin(t)}})^2 dt\)

Ok, zaradi simetričnosti prve četrtine kroga glede na naslednje tri se tole da predelati na contour integral * \(1 \over 4\). Kak je pa v primerih, ko pač ni kake simetrije?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika pomoč!

Post by Aniviller » 3.9.2008 20:10

Takrat se pac to ne da narest. Lahko pa izberes kaksno drugo krivuljo po kateri integriras. Lahko npr. integriras po zgornjem polkrogu z ravnim delom vred, da je sklenjeno in uporabis residue. Potem odstejes dejanski integral ravnega dela, ki je mogoce lazji od tistega po kroznem loku. Lahko probas s kaksno substitucijo preslikat na kaksno lepse obmocje ali kaj podobnega. Nasploh so cele knjige napisane o kompleksni integraciji in o vseh mogocih zavozljanih krivuljah.
Ali pa dejansko probas zintegrirat v realnem - tako kot bi tudi sicer. Za dolocene integrale obstaja se cela vrsta trikov, lahko so poseben primer kaksnih specialnih funkcij, lahko probas razvit, integrirat in sestet (taylor, fourier ali kaksna druga vrsta).
Integracija je vedno zahtevala malo domisljije :)

http://en.wikipedia.org/wiki/Examples_o ... ntegration

Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Post by Mafijec » 4.9.2008 16:43

S contour integriranjem se da; vsaj za n = 0, 1, 2 in 3.

Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Post by Mafijec » 5.9.2008 23:23

Mafijec wrote:\(2x * y'' + (3x - 4) * y' + (4 - 5x) * y = 0\)

Rešitev je \(y = C * e^x\).
Še postopek naloge:

\(y_{1} = C * e^x\)
\(y_{2} = A * y_{1} * \int { e^{- \int p dx} \over y_{1}^2 } dx\)

\(y_{2} = A * e^x * \int { e^{- \int {3x - 4 \over 2x } dx} \over e^{2x} } dx\)
\(y_{2} = A * e^x * \int {{ e^{- 3x \over 2 } x^2 } \over e^{2x} }} dx\)
\(y_{2} = A * -\frac{2}{343} e^{-5 x/2} \left(8+28 x+49 x^2\right)\)

Post Reply