Matematika pomoč!

O matematiki, številih, množicah in računih...
User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika pomoč!

Post by Aniviller » 6.9.2008 9:09

S contour integriranjem se da; vsaj za n = 0, 1, 2 in 3.
A se ne bi moral dat ta primer resit za splosen n?

nymeron
Posts: 6
Joined: 5.9.2008 12:22

Re: Matematika pomoč!

Post by nymeron » 8.9.2008 13:56

mam vprasanje o konvergencnem polmeru pri potencni vrsti, sicr sm ze dost po forumu brsku sam nism najdu ogorvora k ga iscem. Namrec:
recimo mamo neko potecno vrsto, kon. polmer znam zracunat, problem mi dela naslednje: kako doloct ce v krajnih tockah tega polmera vrsta konvergira pogojno, absolutno al pa da divergira, kaj mors narest da to ugotovis? a pac vstavs to krajno tocko v vrsto in zracunas limito vrste, al kaj...
Pol pa se, kako zracunas vsoto vrste, nek sm prebral da dobis vsoto tko da integriras (meje,od x do x0) a je to prov? al se da kuko drgac?

primer: (-1)^n * x^n / 2^n R= 2, se prav da je vrsta konvergira med (-2, 2) kaj pa na krajnih tockah?
vsota: Intergral(0, 2) (-1)^n * x^n / 2^n dx = ...?

hvala za odgovor, LP!

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika pomoč!

Post by Aniviller » 8.9.2008 16:15

Racunanje vsot neskoncnih vrst je tezko pocetje in je bolj izjema, da se jo da sestet, ni tako enostavno, da bi kar nekaj integriral. To kar ti pocnes je da v bistvu funkcijo integriras... Obstaja sicer asimptoticna formula za izrazanje vrste z integralom, vendar v bistvu dobis novo vrsto, ki se zdaj izraza z vsemi odvodi realne razsiritve funkcije na robu. Edina razlika je, da je integral ze dober priblizek. Euler-Maclaurinova formula.

Za konvergenco na robu pa nisem ziher. Skoraj ziher je povezano z obnasanjem funkcije v kompleksnem. Vrsta konvergira, dokler v kompleksnem ne zadane v pol ali kaksno podobno singularnost. Mora bit nekaj s tem v zvezi - s stopnjo singularnosti na konvergencnem krogu - v primeru logaritemskih singularnosti mogoce konvergira. Primer konvergentne vrste je logaritemska v 2 (obicajna alternirajoca hamonicna vrsta). Vrsta za \(\frac{1}{1+x^2}\) v tocki 1 je pa npr. 1-1+1-1+1... in ocitno ne konvergira k 0.5 :) Funkcija ima pola prve stopnje pri \(\pm i\).

Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Post by Mafijec » 9.9.2008 20:07

Aniviller wrote:
S contour integriranjem se da; vsaj za n = 0, 1, 2 in 3.
A se ne bi moral dat ta primer resit za splosen n?
Da, tako je :D. Sicer je pa pri kompleksnem integriranu kosinosov in sinusov na nekem intervalu pokazati simetrijo.

Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Post by Mafijec » 10.9.2008 14:44

\(\int_{0}^{\infty} { exp(-a*x^2) - exp(-b*x^2) \over x^2} dx\)
\(b > a > 0\)

Rešitev pa je:
\(\sqrt{\Pi} * (\sqrt{b} - \sqrt{a})\)

Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Post by Mafijec » 11.9.2008 14:42

Kak se to zgoraj reši?

Najprej najbrž s kako substitucijo (\(x^2 = u\))?

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika pomoč!

Post by Aniviller » 11.9.2008 15:51

Kar cel eksponent (brez minusa) zamenjaj, pa mas direkt gama funkcijo.
\(ax^2=u\)
\(dx=\frac{du}{2\sqrt{au}}\)

\(\frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-u}\sqrt{a}u^{-3/2}du=\frac{\sqrt{a}}{2}\Gamma(-1/2)\)
Enako za drugi clen, le a in b zamenjas.

Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Post by Mafijec » 11.9.2008 19:09

Aha, itak. Samo mene je motilo to, da sem mislil, da je pač \(\Gamma(s)\) definirana za \(s > 0\).

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika pomoč!

Post by Aniviller » 11.9.2008 19:16

Hm... no saj naceloma je definirana samo za s>0 v integralski obliki. Z drugimi definicijami ni problemov s konvergenco. Vendar ravno to je tukaj rahlo sumljivo. Mislim da integral konvergira samo zato, ker imas razliko in se divergirajoci cleni pokrajsajo (en sam clen je okrog 0 oblike 1/x^2 in divergira. oba clena skupaj imata imenovalec 0 zato problemov ni).
Zdaj - ce si fizik potem je moja resitev v redu :D Rezultat je pravilen in po obcutku ves da se neskoncnosti okrajsajo. Matematicno pa bi moral najti bolj korektno izpeljavo, ker formalno ne smes uporabit game.

ZdravaPamet
Posts: 2841
Joined: 16.8.2004 19:41

Re: Matematika pomoč!

Post by ZdravaPamet » 11.9.2008 19:37

Zadevo lahko precej bolj enostavno zapišeš takole:
\($\int_{0}^{\infty} dx\int_{a}^{b}e^{-yx^{2}}\;dy$\)
Zamenjaš vrstni red integracije (najprej seveda preveriš enakomerno konvergenco, če znaš :wink: ), pa dobiš
\($\int_{a}^{b}dy\int_{0}^{\infty} e^{-yx^{2}}\;dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\int_{a}^{b}\frac{dy}{\sqrt{y}}=\sqrt{\pi}(\sqrt{b}-\sqrt{a})$\)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika pomoč!

Post by Aniviller » 11.9.2008 19:48

Bravo, tega pa nisem opazil. No, zagotovo je bolj korektno kot goljufanje z gama funkcijo, vseeno pa ni veliko hitreje ce si jo vajen uporabljat.

Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Post by Mafijec » 11.9.2008 22:44

\(\int_{0}^{\infty} { e^{-ax} - e^{-x} \over x} dx =\)

1. način:
\(\int_{0}^{\infty} { e^{-ax} \over x} dx = \Gamma(0)\)
\(\int_{0}^{\infty} { - e^{-x} \over x} dx =\Gamma(0)\)
Torej je rezultat:
\((1-1) * \Gamma(0)\)

2. način:
\(\int_{1}^{a} dy \int_{0}^{\infty} {e^{-yx}} dx = \int_{1}^{a} {dy \over y} * \Gamma(1) * (-1)\)
Rezultat:
\((-1) * \Gamma(1) * ln(a) = - ln(a)\)
Last edited by Mafijec on 12.9.2008 0:13, edited 1 time in total.

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Re: Matematika pomoč!

Post by Aniviller » 11.9.2008 23:20

Napaki: pri prvem nacinu je tudi prvi rezultat \(\Gamma(0)\) ker substitucija ne naredi nicesar (zgoraj in spodaj pomnozis z a pa imas). Drugic: rezultat bi bil v principu pravilen. Edino da se tokrat neskoncnosti ne pokrajsajo prav - \(\Gamma(0)=\infty\), rezultat je pa \((1-1)\Gamma(0)=0\infty\) kar je nedolocen izraz. V njem se lahko skriva tudi logaritem :)

ZdravaPamet
Posts: 2841
Joined: 16.8.2004 19:41

Re: Matematika pomoč!

Post by ZdravaPamet » 12.9.2008 0:10

Rezultat je \(-\ln a.\)

Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Re: Matematika pomoč!

Post by Mafijec » 12.9.2008 0:11

\(\int_{0}^{\infty} {e^{-\alpha*x^2} - cos(\beta*x) \over x^2} dx\)
Prvi člen pod integralom je jasen (potrdi tudi mathematica):
\({\sqrt{\alpha} \over 2} \Gamma(- {1 \over 2}) = - \sqrt{\alpha} * \sqrt{\pi}\)

Drugi del pa...
\(\int_{0}^{\infty} {- cos(\beta * x) \over x^2} dx =\)
Mathematica sicer pravi:
\({1 \over 2} \pi * abs(\beta)\)

*Mathematica pa pravi le, če ji vržem celoten izraz za poglodat. Sicer pravi "does NOT converge".
Last edited by Mafijec on 12.9.2008 0:14, edited 1 time in total.

Post Reply