Page 16 of 29

Re: Matematika pomoč!

Posted: 6.9.2008 9:09
by Aniviller
S contour integriranjem se da; vsaj za n = 0, 1, 2 in 3.
A se ne bi moral dat ta primer resit za splosen n?

Re: Matematika pomoč!

Posted: 8.9.2008 13:56
by nymeron
mam vprasanje o konvergencnem polmeru pri potencni vrsti, sicr sm ze dost po forumu brsku sam nism najdu ogorvora k ga iscem. Namrec:
recimo mamo neko potecno vrsto, kon. polmer znam zracunat, problem mi dela naslednje: kako doloct ce v krajnih tockah tega polmera vrsta konvergira pogojno, absolutno al pa da divergira, kaj mors narest da to ugotovis? a pac vstavs to krajno tocko v vrsto in zracunas limito vrste, al kaj...
Pol pa se, kako zracunas vsoto vrste, nek sm prebral da dobis vsoto tko da integriras (meje,od x do x0) a je to prov? al se da kuko drgac?

primer: (-1)^n * x^n / 2^n R= 2, se prav da je vrsta konvergira med (-2, 2) kaj pa na krajnih tockah?
vsota: Intergral(0, 2) (-1)^n * x^n / 2^n dx = ...?

hvala za odgovor, LP!

Re: Matematika pomoč!

Posted: 8.9.2008 16:15
by Aniviller
Racunanje vsot neskoncnih vrst je tezko pocetje in je bolj izjema, da se jo da sestet, ni tako enostavno, da bi kar nekaj integriral. To kar ti pocnes je da v bistvu funkcijo integriras... Obstaja sicer asimptoticna formula za izrazanje vrste z integralom, vendar v bistvu dobis novo vrsto, ki se zdaj izraza z vsemi odvodi realne razsiritve funkcije na robu. Edina razlika je, da je integral ze dober priblizek. Euler-Maclaurinova formula.

Za konvergenco na robu pa nisem ziher. Skoraj ziher je povezano z obnasanjem funkcije v kompleksnem. Vrsta konvergira, dokler v kompleksnem ne zadane v pol ali kaksno podobno singularnost. Mora bit nekaj s tem v zvezi - s stopnjo singularnosti na konvergencnem krogu - v primeru logaritemskih singularnosti mogoce konvergira. Primer konvergentne vrste je logaritemska v 2 (obicajna alternirajoca hamonicna vrsta). Vrsta za \(\frac{1}{1+x^2}\) v tocki 1 je pa npr. 1-1+1-1+1... in ocitno ne konvergira k 0.5 :) Funkcija ima pola prve stopnje pri \(\pm i\).

Re: Matematika pomoč!

Posted: 9.9.2008 20:07
by Mafijec
Aniviller wrote:
S contour integriranjem se da; vsaj za n = 0, 1, 2 in 3.
A se ne bi moral dat ta primer resit za splosen n?
Da, tako je :D. Sicer je pa pri kompleksnem integriranu kosinosov in sinusov na nekem intervalu pokazati simetrijo.

Re: Matematika pomoč!

Posted: 10.9.2008 14:44
by Mafijec
\(\int_{0}^{\infty} { exp(-a*x^2) - exp(-b*x^2) \over x^2} dx\)
\(b > a > 0\)

Rešitev pa je:
\(\sqrt{\Pi} * (\sqrt{b} - \sqrt{a})\)

Re: Matematika pomoč!

Posted: 11.9.2008 14:42
by Mafijec
Kak se to zgoraj reši?

Najprej najbrž s kako substitucijo (\(x^2 = u\))?

Re: Matematika pomoč!

Posted: 11.9.2008 15:51
by Aniviller
Kar cel eksponent (brez minusa) zamenjaj, pa mas direkt gama funkcijo.
\(ax^2=u\)
\(dx=\frac{du}{2\sqrt{au}}\)

\(\frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-u}\sqrt{a}u^{-3/2}du=\frac{\sqrt{a}}{2}\Gamma(-1/2)\)
Enako za drugi clen, le a in b zamenjas.

Re: Matematika pomoč!

Posted: 11.9.2008 19:09
by Mafijec
Aha, itak. Samo mene je motilo to, da sem mislil, da je pač \(\Gamma(s)\) definirana za \(s > 0\).

Re: Matematika pomoč!

Posted: 11.9.2008 19:16
by Aniviller
Hm... no saj naceloma je definirana samo za s>0 v integralski obliki. Z drugimi definicijami ni problemov s konvergenco. Vendar ravno to je tukaj rahlo sumljivo. Mislim da integral konvergira samo zato, ker imas razliko in se divergirajoci cleni pokrajsajo (en sam clen je okrog 0 oblike 1/x^2 in divergira. oba clena skupaj imata imenovalec 0 zato problemov ni).
Zdaj - ce si fizik potem je moja resitev v redu :D Rezultat je pravilen in po obcutku ves da se neskoncnosti okrajsajo. Matematicno pa bi moral najti bolj korektno izpeljavo, ker formalno ne smes uporabit game.

Re: Matematika pomoč!

Posted: 11.9.2008 19:37
by ZdravaPamet
Zadevo lahko precej bolj enostavno zapišeš takole:
\($\int_{0}^{\infty} dx\int_{a}^{b}e^{-yx^{2}}\;dy$\)
Zamenjaš vrstni red integracije (najprej seveda preveriš enakomerno konvergenco, če znaš :wink: ), pa dobiš
\($\int_{a}^{b}dy\int_{0}^{\infty} e^{-yx^{2}}\;dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\int_{a}^{b}\frac{dy}{\sqrt{y}}=\sqrt{\pi}(\sqrt{b}-\sqrt{a})$\)

Re: Matematika pomoč!

Posted: 11.9.2008 19:48
by Aniviller
Bravo, tega pa nisem opazil. No, zagotovo je bolj korektno kot goljufanje z gama funkcijo, vseeno pa ni veliko hitreje ce si jo vajen uporabljat.

Re: Matematika pomoč!

Posted: 11.9.2008 22:44
by Mafijec
\(\int_{0}^{\infty} { e^{-ax} - e^{-x} \over x} dx =\)

1. način:
\(\int_{0}^{\infty} { e^{-ax} \over x} dx = \Gamma(0)\)
\(\int_{0}^{\infty} { - e^{-x} \over x} dx =\Gamma(0)\)
Torej je rezultat:
\((1-1) * \Gamma(0)\)

2. način:
\(\int_{1}^{a} dy \int_{0}^{\infty} {e^{-yx}} dx = \int_{1}^{a} {dy \over y} * \Gamma(1) * (-1)\)
Rezultat:
\((-1) * \Gamma(1) * ln(a) = - ln(a)\)

Re: Matematika pomoč!

Posted: 11.9.2008 23:20
by Aniviller
Napaki: pri prvem nacinu je tudi prvi rezultat \(\Gamma(0)\) ker substitucija ne naredi nicesar (zgoraj in spodaj pomnozis z a pa imas). Drugic: rezultat bi bil v principu pravilen. Edino da se tokrat neskoncnosti ne pokrajsajo prav - \(\Gamma(0)=\infty\), rezultat je pa \((1-1)\Gamma(0)=0\infty\) kar je nedolocen izraz. V njem se lahko skriva tudi logaritem :)

Re: Matematika pomoč!

Posted: 12.9.2008 0:10
by ZdravaPamet
Rezultat je \(-\ln a.\)

Re: Matematika pomoč!

Posted: 12.9.2008 0:11
by Mafijec
\(\int_{0}^{\infty} {e^{-\alpha*x^2} - cos(\beta*x) \over x^2} dx\)
Prvi člen pod integralom je jasen (potrdi tudi mathematica):
\({\sqrt{\alpha} \over 2} \Gamma(- {1 \over 2}) = - \sqrt{\alpha} * \sqrt{\pi}\)

Drugi del pa...
\(\int_{0}^{\infty} {- cos(\beta * x) \over x^2} dx =\)
Mathematica sicer pravi:
\({1 \over 2} \pi * abs(\beta)\)

*Mathematica pa pravi le, če ji vržem celoten izraz za poglodat. Sicer pravi "does NOT converge".