mat. funkcija podobna korenu

O matematiki, številih, množicah in računih...
alexa-lol
Posts: 380
Joined: 12.5.2006 19:57

mat. funkcija podobna korenu

Post by alexa-lol » 28.9.2006 19:05

hi,
mene zanima kkao bi naredil to...
npr.

\(32=2^5\)
\(33=2^5 + 1\)

ubistvu me samo zanima kako se da izracunati
\(2^x= stevilo\)

a razumete kaj mislim?

ZdravaPamet
Posts: 2841
Joined: 16.8.2004 19:41

Post by ZdravaPamet » 28.9.2006 19:32

Se pravi, da bi \(stevilo\) zapisal kot dva na nekaj (cela številka) plus ostanek. To bi šlo z logaritmom - za eksponent vzameš celi del logaritma. Recimo, da bi 342 napisal v tem smislu. Najprej izračunaš logaritem tega števila pri osnovi 2 - to narediš s prehodom na novo osnovo, recimo na desetiški logaritem:
\(\log_{2}342=\frac{\log 342}{\log 2}=8,42\)
Se pravi, da bo
\(342=2^{8}+(342-2^{8})=2^{8}+86\)

Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Post by Mafijec » 28.9.2006 19:33

Logaritmi, 2. letnik SŠ.

ZdravaPamet
Posts: 2841
Joined: 16.8.2004 19:41

Post by ZdravaPamet » 28.9.2006 19:34

Vprašanje, če je to hotel vprašati.

Mafijec
Posts: 472
Joined: 12.12.2005 21:36

Post by Mafijec » 28.9.2006 19:37

Ne, nisem razumel točno vprašanja...

alexa-lol
Posts: 380
Joined: 12.5.2006 19:57

Post by alexa-lol » 28.9.2006 19:50

ja nekaj takega ja :) sm 2 letnik samo do zdaj smo samo kotne funkcije jemali(pa podobnost...projekcija a na hipotenuzo=a^2/c...te fore) logaritmi se niso prisli na vrsto

ja ubistvu sem to hotel ja da ti to napise

lp

PS. kaj je pa LN(\(ln\))

\(e^x\)
\(e=2\)
a se da s tem(\(ln\)) izracunati x?

ZdravaPamet
Posts: 2841
Joined: 16.8.2004 19:41

Post by ZdravaPamet » 28.9.2006 20:01

Takole je. Kot najbrž veš, so potenčnim funkcijam (\(x^{2}\)) inverzne korenske (\(\sqrt{x}\)). Eksponentnim funkcijam (\(2^{x}, a^{x}\)) pa so inverzne logaritemske funkcije (\(\log_{2}x\), \(\log_{a}x\)). Praktično to pomeni sledeče.
Vprašaš se, kateri x reši tole enačbo:
\(2^{x}=3\)
Kar na pamet ne bo šlo. Od tistega, kar sem prej povedal, bo treba poseči po logaritmih. In sicer je pravilo tako:
Logaritem števila \(x\) pri osnovi \(a\) je tako število, s katerim moraš potencirati osnovo \(a\), da dobiš število \(x\).
Osnovo logaritma pišeš kot nekakšen indeks logaritma in bereš logaritem z osnovo (pri osnovi) a.
Rešitev prejšnje enačbe je zato \(x=\log_{2}3\) beri: logaritem števila 3 pri osnovi 2.
Najznamenitejša logaritma imata osnovo 10 (desetiški logaritem) in e (to je posebno število, t.i. eulerjevo število). Prvega pišemo brez indeksa, torej samo \(\log_{10}=\log\), drugega pa \(\log_{e}=\ln\) in ga beremo naravni logaritem.
Ker kalkulatorji ne znajo računati vseh logaritmov, ampak samo desetiške in naravne, je priročna formula:
\(\log_{a}x=\frac{\log x}{\log a}=\frac{\ln x}{\ln a}\)
Last edited by ZdravaPamet on 28.9.2006 21:24, edited 1 time in total.

alexa-lol
Posts: 380
Joined: 12.5.2006 19:57

Post by alexa-lol » 28.9.2006 21:02

ja to je to kar sem hotel vedeti

kaj pa to...
npr.

\(2^x + 2^(x-1) + 2^(x-2).....2^(x-N)\)

ali na primeru
\(2^3 + 2^2 + 2^1=14\) je 14 ce se ne motim

je ker drug obrazec za to? da se izracuna

lp

ZdravaPamet
Posts: 2841
Joined: 16.8.2004 19:41

Post by ZdravaPamet » 28.9.2006 21:21

Ja, to je končna vsota členov geometrijskega zaporedja. Jo bom v splošnem obravnaval. Geometrijsko zaporedje je tako, da je količnik sosednjih členov vedno enak.
Imejmo torej geometrijsko zaporedje \(a, aq, aq^{2}, aq^{3} \ldots\) in seštejmo n členov tega zaporedja. Vsoto n členov bom označil z \(S_{n}\).
Se pravi:
\(S_{n}=a+ aq+ aq^{2}+ aq^{3}+ \ldots+aq^{n-1}\)
Naredimo trik in izraz pomnožimo s q.
\(S_{n}q=aq+aq^{2}+aq^{3}+\ldots+aq^{n}\)
Zgornji in spodnji izraz odštejemo. Praktično vsi členi se uničijo, razen krajnih. Dobimo:
\(S_{n}q-S_{n}=aq^{n}-a\)
Od tod izločimo torej vsoto \(S_{n}\)
\(S_{n}=\frac{a(q^{n}-1)}{q-1}\)
Pri tvojem primeru bom samo izpostavil število \(2^{x}\), da bo malo lažje.
Takole:
\(S_{N}=2^{x}\left(1+2^{-1}+2^{-2}+\ldots+2^{-N}\right)\)
Izraz v oklepaju je čista vsota členov geometrijskega zaporedja s temi podatki \(q=2^{-1}\) in \(a=1\) (glej začetni člen).
Vsota v oklepaju je po zgornji formuli \(\frac{(2^{-N-1}-1)}{2^{-1}-1}\) in celotna vsota je:
\(S_{N}=2^{x}\frac{(2^{-N-1}-1)}{2^{-1}-1}\)

User avatar
Aniviller
Posts: 7263
Joined: 15.11.2004 18:16

Post by Aniviller » 29.9.2006 10:19

alexa-lol wrote:\(2^x + 2^(x-1) + 2^(x-2).....2^(x-N)\)
Samo namig: v tex kodi daj zavite oklepaje:

Code: Select all

[tex]2^x+2^{(x-1)}+2^{(x-2)} \ldots 2^{(x-N)}[/tex]

alexa-lol
Posts: 380
Joined: 12.5.2006 19:57

Post by alexa-lol » 29.9.2006 13:31

\(S_{N}=2^{x}\frac{(2^{-N-1}-1)}{2^{-1}-1}\)
mhmh mi lahko na priemru napise kdo

npr.

\(2^7 + 2^6....+2=stevilo\)

ZdravaPamet
Posts: 2841
Joined: 16.8.2004 19:41

Post by ZdravaPamet » 29.9.2006 15:44

Ker že imava formulo, morava samo še podatek ugotovit. Očitno bo\(x=7\) in \(N=6\). Po formuli je vsota:
\(S_{6}=2^{7}\frac{2^{-7}-1}{2^{-1}-1}=254\)

alexa-lol
Posts: 380
Joined: 12.5.2006 19:57

Post by alexa-lol » 30.9.2006 20:51

hi,
kako bi pa to formulo 'predelali' da bi sestel samo stevila od
\(2^y do 2^x\)

ce se kako da to?
pa ce se da tako da sta y in x spremenljivki.

ZdravaPamet
Posts: 2841
Joined: 16.8.2004 19:41

Post by ZdravaPamet » 30.9.2006 21:03

Če sta x in y celi števili, potem brez posebnega truda. Predpostaviš še, da je \(x>y\).
Se pravi, tole bi radi sešteli:
\(S=2^{y}+2^{y+1}+\ldots+2^{x-1}+2^{x}\)
Lahko pa to napišeš tudi takole:
\(2^{y}+2^{y+1}+\ldots+2^{y+n}+\ldots+2^{x}\)
Se pravi zgoraj y samo prištevaš števila od 1 (lahko tudi 0) do \(x-y\).
No, še izpostaviš \(2^{y}\), pa dobiš znano vsoto:
\(S=2^{y}\left(1+2+2^{2}+\ldots+2^{x-y}\right)\)
Po formuli od prej, je izraz v oklepaju
\(2^{x-y+1}-1\)
Se pravi, da je skupaj:
\(S=2^{y}+2^{y+1}+\ldots+2^{x-1}+2^{x}=2^{y}\cdot\left(2^{x-y+1}-1\right)=2^{x+1}-2^{y}\)

alexa-lol
Posts: 380
Joined: 12.5.2006 19:57

Post by alexa-lol » 30.9.2006 21:23

aha torej....

od 2^5 do 2^2=

\(2^{x+1} - 2^y\)
\(2^{5+1} - 2^2\)
\(64-4=60\)

uuuu super :D

kaj pa se da kako to obrnit da bi dobili \(y\) ven?-da bi \(y\) izrazili?

Post Reply