Kako razloziti koliko je 3-(-1)=?

O matematiki, številih, množicah in računih...
User avatar
Marsovec
Posts: 74
Joined: 7.6.2006 15:13

Post by Marsovec » 19.10.2006 8:14

Včasih smo se vsi učili vektorje v 7. razredu OŠ, pa je bilo čisto ok.

Danes pa omeniš vektorje študentom - bodočim učiteljem matematike, pa se jim kar hlače tresejo. Žalostno, zares.

Mimogrede, vektorji še zdaleč niso tako filozofski kot npr. realna števila...

mirko
Posts: 483
Joined: 1.9.2004 13:38

Re: Kako razloziti koliko je 3-(-1)=?

Post by mirko » 19.10.2006 9:31

MAVER|CK wrote:Imamo zelo preprosto enacbo 3 - (-1) = 4 to ve ze vsak v tretjem razredu.

Kako pa razlozimo ta rezultat? Ce je sestevanje osnovna operacija in meni niti stevilska premica ne pomaga pri razumevanju?

Cul sem, da je nekdo hotel to na lahek nacin razloziti nekemu "biznismenu" in ta je dejal, da tega ne razume (saj vse gleda skozi denar). Jaz imam 3 miljone in sem nekomu dolzen miljon in on mi iz radodarnosti crta ta dolg in potem se moje premozenje poveca kar na 4 miljone:). Po vsej logiki bi mi moglo ostati 3 miljone, od kod ekstra miljon?
Za enega biznismena je lepo že to, da sploh pride na idejo, da ti črta dolg.
Če bi mu pa zdej razlagal kaj je to nasprotno število, npr +1 -> -1 in bi mu rekel, da ne samo, da ti naj črta dolg, ampak naj ti potem na račun še nakaže vsoto, ki si mu jo dolgoval - to pa je že narobe svet.

User avatar
shrink
Posts: 14469
Joined: 4.9.2004 18:45

Re: Kako razloziti koliko je 3-(-1)=?

Post by shrink » 19.10.2006 14:29

MAVER|CK wrote:Imamo zelo preprosto enacbo 3 - (-1) = 4 to ve ze vsak v tretjem razredu.

Kako pa razlozimo ta rezultat? Ce je sestevanje osnovna operacija in meni niti stevilska premica ne pomaga pri razumevanju?

Cul sem, da je nekdo hotel to na lahek nacin razloziti nekemu "biznismenu" in ta je dejal, da tega ne razume (saj vse gleda skozi denar). Jaz imam 3 miljone in sem nekomu dolzen miljon in on mi iz radodarnosti crta ta dolg in potem se moje premozenje poveca kar na 4 miljone:). Po vsej logiki bi mi moglo ostati 3 miljone, od kod ekstra miljon?
K tistemu, kar je napisal GJ, bi dodal še zelo ilustrativen primer iz vsakdanjega življenja, ki razloži, da res velja \(3 - (-1) = 4\):

Ker se vedno bolj bliža zima in temperatura na termometru (recimo na balkonu) vedno bolj pada, lahko odčitavanje temperature (v \(^0 C\)) uporabimo kot izhodišče za zelo preprosto razlago.

Denimo, da nekega dne zjutraj odčitamo temperaturo \(3 ^0 C\), naslednji dan pa \(-1 ^0 C\). Zanima nas, za koliko je bila temperatura dan prej višja od temperature dan pozneje. Vemo, da razliko med dvemi merjenimi količinami (ali katerimikoli drugimi vrednostmi), dobimo z odštevanjem, operacijo, ki jo nakažemo z znakom \(-\). Zanima nas torej:

\(3 - (-1) = ?\)

Razliko določimo eksperimentalno: Preštejemo za koliko "črtic" se je spustil živosrebrni (ali pa alkoholni) stolpec. Ugotovimo: za \(4\). Torej:

\(3 - (-1) = 4\)

Ta primer razlage operacije odštevanja med celimi števili (takrat imenovanih še relativna števila) sem našel v zelo starem OŠ učbeniku (od svojega očeta), ko sem še sam obiskoval OŠ. Takrat mi je bila ta razlaga popolnoma razumljiva in upam, da bi bila (ob ustrezni praktični demonstraciji) tudi današnjim otrokom ter povsem verjamem, da tudi kakšnemu "biznismenu" (če ne drugače z ekvivalentnim primerom: naj ima recimo nekega dne na TRR \(3\) mio EUR in naslednjega dne \(- 1\) mio EUR; prekleto hitro bo prišel do spoznanja, da je v enem dnevu izgubil \(4\) mio EUR).

Zaradi navedenega ne razumem popolnoma, zakaj dandanes gnjavijo 6-letnike oz. 7-letnike z vektorji samo zato, da razložijo odštevanje ne nujno pozitivnih števil. Morda pa želijo zgolj ubiti dve muhi na en mah: čim bolj zgodaj predstaviti to pomembno matematično konstrukcijo, tako kot so nas (pred dvemi desetletji ali še kaj več) že navsezgodaj gnjavili z množicami (mojega fotra recimo niso). Saj ne rečem, da to ni koristno (pojem množic in operacij med njimi sem v 2. razredu OŠ enkrat za vselej razumel in osvojil), vendar bi se dalo odštevanje celih števil bolj nazorno predstaviti na druge načine.

User avatar
kren
Posts: 1651
Joined: 17.2.2005 12:54

Post by kren » 19.10.2006 15:09

Pravzaprav se iz danasnjih ucnih programov pri matematiki zelo veliko stvari ven mece. Npr. v srednji soli se ne bo ucilo vec vektorskega produkta, kompleksnih stevil in se mnogo drugega. Tako da tisto da se mladini vsiljuje neke hude tezke matematicne teorije ni cist res. Se na faksu se vsako leto manj spredava.
Roman wrote:Vektorji so enako filozofski kakor matematika na sploh. Če o tem razmišljaš, da, če pa moraš stvar praktično uporabljati, pa si s filozofijo ne moreš nič pomagati.
Hja, ce zelo strogo vzamemo potem je matematika nasploh res filozofska. Ampak potem se moras nujno tudi strinjati da je tako z vsemi recmi, brez kakrsnekoli izjeme. Ko branjevka na trgu prodaja solato ali ko Newton tuhta fizikalne zakone. V tem smislu oba razmisljata abstraktno, filozofsko.
Marsovec wrote: Mimogrede, vektorji še zdaleč niso tako filozofski kot npr. realna števila...
To bi pa tut mene zanimal zakaj? Sem mislu da je to eno in isto..

User avatar
Mephisto
Posts: 268
Joined: 31.1.2006 14:15
Location: Skopo

Post by Mephisto » 19.10.2006 18:35

Matematika je trenutno logična izpeljava vsega mogočega iz aksiomov in definicij - ti pojmi so pa bili v preteklosti večinoma "izpeljani" iz prakse, narave če želite. Torej vse skupaj temelji na nekih dogovorih, za katere pač ne moremo vedeti ali sigurno držijo, vendar slutimo da niso napačni.

@Marsovec: Zakaj so pa realna števila filozofska? Čeprav v večini primerov uporabljamo racionalna, imamo tudi nekaj pogostejših uporab realnih števil - recimo "pi" ali pa nekateri kvadratni koreni.

User avatar
Marsovec
Posts: 74
Joined: 7.6.2006 15:13

Post by Marsovec » 19.10.2006 22:48

Zakaj so realna števila bolj filozofska od vektorjev?

(Geometrijski) vektorji so definirani geometrijsko kot usmerjene daljice (oz. kot ekvivalenčni razredi takih daljic, ki imajo isto smer in dolžino) in tudi operacije na njih so definirane geometrijsko (npr. seštevanje po paralelogramskem pravilu).

Pravilno definirati, kaj so realna števila in kako z njimi računati, pa je zelo težko. Gre za čisto abstraktno konstrukcijo, ki jo okleščeno slišiš v prvem letniku študija matematike na FMF, a kot bruc običajno ne razumeš, v čem je bistvo. Če poskušaš realna števila definirati kako drugače, npr. kot točke na premici, in z njimi računati "geometrijsko" (podobno kot z vektorji), dobiš ponazoritev, ki je sicer čisto uporabna, a se v njej se zgubijo nekatere bistvene lastnosti, ki ločijo realna števila od celih ali racionalnih.

Kaj je pravzaprav bistvena lastnost, ki množico realnih števil loči od množice racionalnih? Vsaka omejena množica realnih števil ima natančno zgornjo mejo.
Za racionalna števila to ne velja. Množica \(\{x\in Q \mid 1<x<\sqrt 2\}\subset Q\) naprimer nima natančne zgornje meje (v Q), množica
\(\{x\in R \mid 1<x<\sqrt 2\}\subset R\) pa ima natančno zgornjo mejo (v R).

Ta ugotovitev pa se mi zdi precej bolj "filozofska" od seštevanja vektorjev po paralelogramskem pravilu...

Roman
Posts: 6188
Joined: 21.10.2003 8:03

Post by Roman » 20.10.2006 7:49

Razlaga je sicer zanimiva, treba pa je povedati, da je tudi geometrija čisto abstraktna veda, ki jo sicer lahko zelo približno ilustriramo z grafičnimi prijemi, a če smo natančni, geomtrijskih objektov ne moremo narisati. Morda je geometrija ravno zaradi grafičnih približkov lažje predstavljiva, to pa je tudi vse. Geometrija ni nič manj filozofska kot teorija realnih števil.

Katera bistvena lastnost razlikuje množico R od množice Q? Jaz mislim, da predvsem ta, da je R bistveno večja od Q. N, Z in Q so vse enako velike, imajo enako mnogo elementov, so števno neskončne. R pa ima moč kontinuuma.

Ne vem sicer, ali je tvoje omejevanje s korenom iz dva korektno zapisano, res pa je, da je šele množica R zaprta za konvergentna zaporedja iz Q (prosto po Dedekindu).

User avatar
Marsovec
Posts: 74
Joined: 7.6.2006 15:13

Post by Marsovec » 20.10.2006 11:21

V bistvu sem se v razpravo vključil, ker sem hotel povdariti, da se mi zdi narobe, da bi se vektorjev otepali kot hudič križa, in da bi se morali učenci z njimi prvič srečati že v osnovni šoli, četudi primer 3-(-1) za to morda ni idealen...

Sicer pa imaš prav, Roman, oboje je zelo filozofsko, če greš v aksiomatski pristop. Vseeno menim, da povprečen otrok laže razume, kako sešteješ dva vektorja po paralelogramskem pravilu, kot pa to, da je \(\sqrt 2\) iracionalno število.

Glede R in Q pa je tisto o njuni moči res pomembna lastnost, vendar ni ključna sestavina definicije realnih števil, ampak je zgolj posledica aksiomov. Bistveni aksiom na poti od Q do R je Dedekindov.

User avatar
kren
Posts: 1651
Joined: 17.2.2005 12:54

Post by kren » 20.10.2006 12:34

Sicer pa imaš prav, Roman, oboje je zelo filozofsko, če greš v aksiomatski pristop.
Js mislim, da je pri tem najbolj filozofsko vprasanje "kaj je filozofsko". Ce to ves potem seveda ni tezko opredeliti matematiko.

Napacno se mi pa zdi, da bi zgolj matematika padla v to kategorijo kar je brzkone zato, ker matematicno razmisljanje ni del vsakdanjika mnogih ljudi in jim je zato bolj tuje. Ce pa je tuje pa se ne pomeni, da je abstraktno (pravzaprav: obratno).

Roman
Posts: 6188
Joined: 21.10.2003 8:03

Post by Roman » 20.10.2006 13:15

Pa tudi če je abstraktno, še ni nujno, da je tudi filozofsko. Ampak uporaba pridevnika "filozofski" je predpostavljala, da smo si za silo edini, kaj pridevnik pomeni. Seveda ni nujno, da je temu tako.

User avatar
MAVER|CK
Posts: 880
Joined: 27.5.2005 16:34
Contact:

Post by MAVER|CK » 20.10.2006 13:50

Vceri sm bil odsoten in sm pogruntu zadevo po nacinu tehtnice (enacba).

a-(-b)=x /obema stranema pristejemo +(-b)
a-(-b)+(-b)=x+(-b) /okrajsamo
a=x-b /obema stranema pristejemo +b
a+b=x

Iz tega sledi da je a-(-b)=a+b


Vseeno hvala GJ-ju in Shrinku za se bolj "otrosko" razlago problema. Tocno to sm iskal.

Upam, da ste tudi vi dojeli, da je lahko se nekaj naucit na pamet in tezje nekaj razumeti, se tezje pa toliko znati, da lahko komu to razlozis na tak nacin, da on to razume.

Post Reply