Stevilo se ne konča(PI)

O matematiki, številih, množicah in računih...
Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14575
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Odgovor Napisal/-a shrink »

Maedhros:

Mislim, da je Roman povsem dobro osvetlil najino pozicijo in dodatno argumentiranje z moje strani ni potrebno.

Mogoče samo:
Maedhros napisal/-a:Če menita, da bosta v 5 minutah rešila problem, ki so mu ljudje posvetili celotne kariere, potem... no ja, verjetnost za kaj takega je pač infinitizemalno majhna.
Ne vem od kod tebi ideja, da imam (imava) takšne ambicije. Tega problema sploh ne rešujeva oz. nisva poskusila rešiti, ker sploh nisva govorila o računskih problemih (problemih izračunljivosti) pri računskih strojih (računalnikih). Zadevo sva postavila bolj široko, čemur je bila tema prvotno sploh predvidena; govora je pač o iracionalnosti števila \(\pi\). In ker se sam na začetku nisi izjasnil, v kateri smeri boš razpravljal, sva z Romanom pač predvidevala, da bo tekla debata v okviru čiste matematike, ne pa aplikacije matematike v računalništvu. No, če si še sam privoščim malo sarkazma: verjetnost, da bom komu uspel brati misli, je res infinitezimalno majhna. :lol:
Kar se pa tiče omenjenih limit zaporedij, jih je mogoče zapisati za začetek kot psevdokodo, s katero bi konstruirali vedno natančnejše približke nekega realnega števila, ta pa je seveda prevedljiva v navodila, za delovanje TSja... in tako velja pač, da zaradi števnosti takih algoritmov večina realnih števil ostaja neizračunljiva.
To seveda ne drži. Vsako iracionalno število je možno zapisati kot limito zaporedja racionalnih števil in je v matematičnem smislu "izračunljivo", pa tudi v računalniškem; če bi le imeli na razpolago neomejeno pomnilnika (glej na konec posta za pojasnilo).
Maedhros napisal/-a:
Roman napisal/-a:
Maedhros napisal/-a:Lahko:
Že, že, ampak pod "generiranje" je bil mišljen izračun približka.
In to je v nasprotju z deli Turinga in horde matematikov, ki so mu sledili.
Očitno me nisi razumel in še vedno ne razumeš. Zakaj pa misliš, da sem dal besedno zvezo med narekovaje? Očitno sem to naredil z razlogom. Pa tudi sem to kasneje utemeljil. Pa naj bo še enkrat:

Osebno je zame algoritem vsak "opis postopka pri reševanju nekega problema, podan v obliki niza navodil", zato sploh ni nujno, da gre za računski stroj ali kaj podobnega, temveč lahko tudi za nek predpis oz. navodilo (kar zaporedje je), ki vodi do rešitve.
Poleg tega da so to osnove računalništva, so tudi osnove matematike. Goedel in Turing sta tesno prepletena (izračunljivost in dokazljivost sta dve plati iste medalje).
Še enkrat: Tista definicija izračunljivosti je povsem namenska in sicer za namene računalništva (če hočeš: aplikacije matematike v praksi), kar pa s čisto (abstraktno) matematiko nima dosti zveze. Vse kar torej navajaš, je čisto aplikativnega značaja. Če vzameš v roke kako knjigo iz področja analize, kjer se v uvodnih poglavjih vedno obravnavajo tudi realna števila, Turing in njegova definicija izračunljivosti sploh ni omenjena. Zakaj? Ker, kakor sem že dejal, enostavno ni potrebe, saj matematična abstrakcija presega omejitve, ki jih narekujejo računski stroji oz. računalniki. Sicer pa je bil v zvezi s tem že Roman dovolj zgovoren:
Roman napisal/-a:Prav, ampak nauči se razlikovati med računalništvom in matematiko. V računalništvu ni realnih števil, tip "real" v Pascalu ni realno število v matematičnem smislu.
Maedhros napisal/-a:Kar se pa tiče neskončnosti sem bil očitno preveč izpostavljen trditvam oblike "neskončnost je magija", kar je pred časom trdil sam K.F.Gauss. Še vedno mislim, da je omenjanje neskončnosti povsem nepotrebno in dobro vem, da se del matematikov s tem strinja - imenujejo se intuicionisti, če se ne motim.
Kakor za koga. Še vedno pa pri kurzih višje matematika oz. analize na faksih ne gre brez:

\(\lim_{x \to \infty} f(x)\)

in podobnih abstrakcij.
Drugače mi pa zmanjkuje časa, da bi se poglabljal tule v podrobnosti (fax pač jemlje čas). Mogoče kdaj drugič. Zaenkrat pa ostajam pri svojih trditvah, da:
a) večina realnih števil je neizračunljiva
b) PI, e, koren(2) in podobna števila *so* izračunljiva, torej zapisljiva s končnim algoritmom
Ad a)

Očitno se moram neprestano ponavljati: To je povsem odvisno od definicije izračunljivosti.

Ad b)

Ibidem.
Poleg tega pa seveda trdno stojim za Church-Turingovo tezo, ki postavlja zgornjo shrinkovo trditev v nič kaj zavidljiv položaj.
Še vedno tako meniš? Kljub moji in Romanovi argumentaciji?
Mimogrede, na naslednjem linku je kar zanimiv pogovor o teh zadevah:
http://www.nrich.maths.org/askedNRICH/edited/1172.html
Hja, vprašanje
I have been reading a book about Alan Turing which says that pi is a computable number. How would it be represented on the "tape" (in binary maybe)?...
povsem jasno kaže na to, da je govora o konkretnih zadevah, torej reprezentaciji števil za potrebe računalništva oz. informatike. Turing je bil vsekakor izvrsten matematik, vendar je bilo njegovo matematično delovanje predvsem usmerjeno v aplikacije na tem področju. Zato je tudi jasno, zakaj se njegovega doprinosa ne omenja v uvodnih poglavjih analize, ki uvedejo in obravnavajo realna števila.

"Razliko med matematičnim in računalniškim" pogledom na zadevo zelo dobro predstavi eden od odgovorov iz omenjene povezave:
It is true that a computer program can calculate any rational number to any no. of d.p.s, and that all irrational numbers are the limit of a sequence of rationals. However if a computer program was to construct an irrational number by reference to a rational sequence then it would have to store the ENTIRE rational sequence. (i.e. it would have to store 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415 etc). And it can't store an infinite amount of rational numbers because the length of the program is finite. Unless of course the rationals in the sequence follow some sort of pattern but if you do this then you are limited to only a countable amount of irrational numbers as the limit.
Če povzamem:

Matematično razmišljanje: "Vsa iracionalna števila so limite zaporedij racionalnih števil."

To je povsem v skladu z mojo trditvijo, da za vsako iracionalno število obstaja "algoritem za njegovo generiranje", saj je zame zaporedje tudi algoritem (pač v skladu z definicijo algoritma, ki sem jo podal).

Računalniško razmišljanje: "Računalniški program ne more shraniti vseh racionalnih števil oz. neskončnega števila le-teh, saj je njegova dolžina končna in je zaradi tega omejen z "izračunljivostjo" le števno končnega števila iracionalnih števil.

Zgolj zaradi te omejitve, ki je čisto fizične narave, saj računalnik nima na razpolago neomejeno pomnilnika, lahko rečemo, da je "izračunljivih" (seveda v računalniškem smislu) števno mnogo iracionalnih oz. realnih števil.

Za konec: Mogoče tudi v tem primeru razmišljaš preveč konkretno (kar sicer ni nič narobe, vendar matematika presega ta okvir), tako kot si razmišljal glede fotonov v neki drugi temi.
kren napisal/-a:Roman sej najbrz je nesporazum samo v definicijah, izracunljivo stevilo ni isto kokr da bi reku da obstaja zaporedje ki tja konvergira. za izracunljivost mora obstajat se koncen algoritem ki bi nam to stevilo generiral, to pa je strozji pogoj.
Saj je bilo rečeno, da je pogled na zadevo zelo odvisen od same definicije izračunljivosti. Osebno pa menim, da je takšna definicija primerna zgolj za rabo v računalništvu oz. pogojno v numerični matematiki. Zelo neprimerno je namreč reči (kar sem že poudaril), da smo "izračunali" število \(\pi\), saj je povsem jasno, da smo izračunali njegov približek, ki je seveda racionalno število. Izračunljivost iracionalnih števil (a v resnici so produkt izračuna zgolj racionalni približki) je v skladu z omenjeno definicijo (končnost algoritma) sprejemljiva samo v kontekstu računalništva oz. numerike, izven tega konteksta (kar je recimo tudi ta tema) pa ni.

Roman
Prispevkov: 6429
Pridružen: 21.10.2003 8:03

Odgovor Napisal/-a Roman »

K Shrinkovemu besedilu bi rad dodal še to:

Realna števila so po eni strani definirana kot števila z neskončno mnogo decimalnimi mesti, po drugi strani pa so to limite konvergentnih racionalnih zaporedij. V vsakem primeru jih ne moremo zapisati v nobenem konkretnem številskem sistemu, pa naj imamo še tako zmogljiv računalnik. Ampak ko uporabimo simbol pi ali simbol e, imamo v mislih število samo z vsemi njegovimi (neskončno mnogo) decimalkami, čeprav jih poznamo le nekaj malega na začetku.

Izračunljivost realnega števila pomeni, da pridemo s končnim številom korakov do kateregakoli decimalnega mesta. Kako pa vemo, da smo zares našli n decimalnih mest? Odgovor je ta, da nam vsi naslednji koraki teh n mest ponavljajo, razlike so v kasnejših decimalkah. To pa je že skoraj definicija konvergentnega zaporedja. Definicija algoritma za izračun mora biti v resnici oblika konvergentnega zaporedja.

In kljub temu, da lahko izračunamo recimo (si izmišljujem) dvajset milijard decimalnoih mest števila pi v petnajst milijardah ponovitev zanke algoritma in nam to vzame nekaj deset ur računalniškega časa in ustrezno veliko prostora na trdem disku, števila pi še vedno nismo do konca izračunali.

Ne vem, ali so izračunljiva vsa realna števila. Mislim, da so. Ampak ne predstavljam si, da bi mi lahko kdo povedal za realno število, ki ne bi bilo izračunljivo.

eros
Prispevkov: 30
Pridružen: 16.1.2004 13:13
Kraj: Velenje
Kontakt:

Odgovor Napisal/-a eros »

Malce bom izven dosedanjega dialoga ampak se vprašanje vendarle navezuje na iracionalna števila in sicer ali se pri vseh iracionalnih številih za decimalno vejico enakomerno pojavljajo vse številke (od 0 do 9 vse v enakih razmerjih)? In če se kako bi to dokazali?

NoComent
Prispevkov: 24
Pridružen: 2.2.2004 21:51

Odgovor Napisal/-a NoComent »

ali se pri vseh iracionalnih številih za decimalno vejico enakomerno pojavljajo vse številke (od 0 do 9 vse v enakih razmerjih)? In če se kako bi to dokazali?
Dokažemo lahko nasprotno, s protiprimerom:
0.01001000100001000001... (za vsako naslednjo enko je ena ničla več) je iracionalno število.

Jurij
Prispevkov: 585
Pridružen: 27.2.2006 11:09

Odgovor Napisal/-a Jurij »

eros:
to kar si povedal velja ravno za racionalna št. ki jih delimo na tista s končnim zapisom in tista z neskončnim periodičnim zapisom. iracionalna pa so števila z neskončnim neperiodičnim zapisom.

js ne razumm dobr razlike med iracionalnimi št. in transcendentnimi št.
a bi kdo razložu?

NoComent
Prispevkov: 24
Pridružen: 2.2.2004 21:51

Odgovor Napisal/-a NoComent »

Ne vem, ali so izračunljiva vsa realna števila. Mislim, da so. Ampak ne predstavljam si, da bi mi lahko kdo povedal za realno število, ki ne bi bilo izračunljivo.
Jaz si tudi ne znam predstavljati takega števila ampak vem da obstajajo.

Hint: Samo pomisli kolikšna je moč množice vseh konvergentnih zaporedij, ki jih lahko zapišeš (oz. opišeš na poljuben način)

eros
Prispevkov: 30
Pridružen: 16.1.2004 13:13
Kraj: Velenje
Kontakt:

Odgovor Napisal/-a eros »

Aha no zdaj vsaj vem zakaj se pri pi-ju in e-ju ta lastnost tako poudarja :lol: !

LP

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14575
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Odgovor Napisal/-a shrink »

Jurij napisal/-a: js ne razumm dobr razlike med iracionalnimi št. in transcendentnimi št.
a bi kdo razložu?
Transcendentna števila so podmnožica iracionalnih števil; slednja se namreč delijo na: algebraične iracionalnosti (iracionalni koreni algebraičnih enačb) in transcendentna števila (npr. \(\pi\), \(e\) itd.).

Jurij
Prispevkov: 585
Pridružen: 27.2.2006 11:09

Odgovor Napisal/-a Jurij »

aha, a bi mi loh navedu še kkšn primer transcendentnega števila?

Uporabniški avatar
shrink
Prispevkov: 14575
Pridružen: 4.9.2004 18:45

Odgovor Napisal/-a shrink »

Jurij napisal/-a:aha, a bi mi loh navedu še kkšn primer transcendentnega števila?
\(\pi\) in \(e\) sem že navedel, na naslednji povezavi pa najdeš tudi ostale tipične predstavnike:

http://mathworld.wolfram.com/TranscendentalNumber.html.

Odgovori