pomoč pri integriranju

[zirko]

Rabim pomoč pri enem integralu. Končujem 4. letnik, kar pomeni da smo spoznali poleg osnovnih pravil za integriranje še "intergratio per partes" in integriranje nekaterih racionalnih funkcij (če je v imenovalcu recimo kvadratna funkcija in si potem pomagaš z osnovnim izrekom o deljenju). Upam, da nisem spregledal česa preveč očitnega. Će sem se že vnaprej opravičujem

Kako bi izračunali nedoločen integral funkcije (x+1)/(x+3)?

[ZdravaPamet]

Precej preprosto. Najprej "zdeliš" polinoma, nato integriraš.
\(\int\frac{x+1}{x+3}dx=\int\left(1-\frac{2}{x+3}\right)dx=x-2\ln\left|x+3\right|\)

[zirko]

Najlepša hvala.

to obvious

[P_Nut]

Zdravo! Jaz imam pa en začetni problem pri razumevanju integralov, trenutno sem pri per partesu pa mi vseeno nekaj čudno hodi...

Imam tole :

\(dv = sin(2x) dx => v = -1/2 cos(2x)\)

Kako pridemo do tega rezultata? Okej, integral od sinusa je -cos, od kje pa pride tista ena polovica in predvsem zakaj tam ostane 2x? A ni integral od 2x = x^2?

Lp

[ZdravaPamet]

Elementarni integral, ki ga poznaš, je
\($\int \sin x\; dx=-\cos x$\)
Tvoj integral pa ima v argumentu 2x. Napraviti moraš zamenjavo spremenljivk. Takole:
\($2x=u$\)
\($2dx=du\rightarrow dx=du/2$\)
Integral se glasi:
\($\frac{1}{2}\int u\; du=-(\cos u)/2=-(\cos 2x)/2$\)

Če imaš na splošno integrabilno funkcijo f=f(ax), jo lahko integriraš po tem postopku (seveda moraš biti pazljiv):
\($ax=u$\)
\($dx=du/a$\)
\($\int f(ax)\; dx=\frac{1}{a}\int f(u)\; du$\)

[P_Nut]

Hvala!

[P_Nut]

Lep pozdrav še enkrat!

Spet imam težave pri reševanju dveh (verjetno lahkih) integralov.

Prvi je tale:
\(\int x cos \frac{x}{2} dx\)

Sem poiskušal s per partesom pa gre v neskončnost, nikakor ne morem končat, am i missing something?

Drugi je:

\(\int \frac{1}{\sqrt{(4-x^2)}} dx\)

Mi lahko kdo pomaga?

Hvala! (Sem se kar namatral da sem te enačbe napisal tako kot treba )

[ZdravaPamet]

Prvi gre per partes (\(\int u\;dv=uv-\int v\;du\)). Napačno si izbral spremenljivke. Vzemi \(u=x\) in \(dv=\cos\frac{x}{2}dx.\)
Pri drugem integralu pa v oči bode nova spremenljivka: \(x=2\sin u\) ali pa \(x=2\cos u\)

[Aniviller]

V splosnem, kadar bi znal integrirat, ce ne bi bilo pomnozeno s polinomom, potem je pri per partes polinomski del tisti, ki ga gres odvajat, ker s tem znizujes stopnjo! Podobno velja za logaritem, ker ga s tem prevedes na racionalno funkcijo.

[P_Nut]

Ok, tisti per partes sem rešil. Narobe sem se lotil.

Pri tadrugem pa ne razumem od kje dobimo \(x=2\sin u\)

[ZdravaPamet]

Vtakni to v integral, upoštevaj zvezo \(\sin^{2}x+\cos^{2}x=1\), in takoj ti bo jasno, zakaj je ta nastavek dober. Nove spremenljivke moraš izbirati tako, da poenostaviš integral. Kotna funkcija je zaradi omenjene zveze ravno prava.

[P_Nut]

Nič mi ni jasno. Potem se vse skupaj še bolj zakomplicira. Tista štirica tam je pa tudi v napoto.

[ZdravaPamet]

No, pa dajva. \(x=2\sin u\).
\($I=\int\frac{1}{\sqrt{4-4\sin^{2}u}}2\cos u\;du=\int\frac{1}{2\left|\cos u\right|}2\cos u\;du=\int\frac{\cos u}{\left|\cos u\right|}du$\)
Integrand je lahko 1 ali pa -1, odvisno od meja integracije.
\(I=\pm u=\pm\arcsin\frac{1}{2}x\)

[Aniviller]

Integral je tudi eden tistih desetih ki jih znaš na pamet (oz. so na vsaki tabeli, celo na maturitetnih polah).
\(\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin{\frac{x}{a}}\)

[an2]

Da ne odpiram nove teme. Rabim nasvet kako rešiti ta integral.

\(\int^2_{-2} x^2 (4-x^2)^4 dx\)

Z novo spremenljivko \(u = 4-x^2\) ne dobim nič kaj uporabnega in še meji sta potem obe 0 kar ni ravno smiselno... Sprednji \(x^2\) pa mi tudi pokvari izraz..