Standardna metrika na metričnem prostoru \(\mathbb{R}^{n}\), d(x,y), je vpeljana kot norma
\(d(x,y)^{2}=\parallel x-y \parallel ^{2} = \sum_{i=1}^{n} (x_{i}-y_{i})^{2}.\)
Ce si pogledamo izraz za kvadratno formo:
\(f(x) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_{i} x_{j}.\)
za vsak x iz \(\mathbb{R}^{n}\).
Pa se vprasajmo če recem, da je metrika zapisana kot kvadratna forma
\(d(x,y) = \sqrt{f(x-y)}\)
kakšne matrike \({\b A} = [a_{ij}]\) ustrezajo pogojem za metriko, tj.
\(\[
d(x,y)=d(y,x)
\]
\[
d(x,y) \geq 0
\]
\[
d(x,y) = 0 \Leftrightarrow x=y
\]\)
in ketere nato zadoscajo se zadnjemu pogoju za metriko
\(d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) ?\)
Kaksen nasvet kako poiskati vse take matrike \({\b A}\)?
Ena rešitev je ocitno \({\b A}={\b I}\), ker je to kar standardna metrika, pa je to tudi edina resitev?
hvala
Metrika
Razmeroma globoko vprašanje...
Iz vsake pozitivno definitne kvadratne matrike A lahko narediš skalarni produkt, če definiraš \(<x,y>=x^T A y\).
Iz vsakega skalarnega produkta lahko narediš normo po predpisu \(\|x\|^2=<x,x>\).
Iz vsake norme lahko narediš metriko \(d(x,y)=\|x-y\|\).
Če nisem naredil kake luknje v sklepanju, lahko na ta način "narediš" metriko iz vsake pozitivno definitne matrike (to so tiste, ki imajo natanko n strogo pozitivnih lastnih vrednosti, šteto z večkratnostmi).
V obratno smer ne gre tako preprosto.
Gotovo obstajajo tudi metrike, ki niso porojene iz neke norme. Tega, ali lahko iz vsake norme narediš skalarni produkt, se ne spomnim, ampak na pamet bi rekel, da ne. Res pa je, da lahko vsak skalarni produkt na končnorazsežnem prostoru prevedeš na opisano obliko s pozitivno def. matriko...
Ti to zadošča? Za bolj natančen odgovor pa bi potreboval nekaj brskanja po knjigah ali spletu...
Iz vsake pozitivno definitne kvadratne matrike A lahko narediš skalarni produkt, če definiraš \(<x,y>=x^T A y\).
Iz vsakega skalarnega produkta lahko narediš normo po predpisu \(\|x\|^2=<x,x>\).
Iz vsake norme lahko narediš metriko \(d(x,y)=\|x-y\|\).
Če nisem naredil kake luknje v sklepanju, lahko na ta način "narediš" metriko iz vsake pozitivno definitne matrike (to so tiste, ki imajo natanko n strogo pozitivnih lastnih vrednosti, šteto z večkratnostmi).
V obratno smer ne gre tako preprosto.
Gotovo obstajajo tudi metrike, ki niso porojene iz neke norme. Tega, ali lahko iz vsake norme narediš skalarni produkt, se ne spomnim, ampak na pamet bi rekel, da ne. Res pa je, da lahko vsak skalarni produkt na končnorazsežnem prostoru prevedeš na opisano obliko s pozitivno def. matriko...
Ti to zadošča? Za bolj natančen odgovor pa bi potreboval nekaj brskanja po knjigah ali spletu...
Kot zanimivost, prijatelj je prisel do ugotovitve, da ce narisemo v nasi metriki zaptro kroglo z srediscem v \(x=0\) in radijem \(\varepsilon=1\)
\(\bar{K}(0,1) = \{ x \in \mathbb{R}^{n} ; d(x,0) \leq 1 \}.\)
Ce narisemo graf te funkcije mora biti funkcija na intervalu \([0,1]\) konveksna (kot recimo za standardno metriko, dobimo kroznico za n=2).
lp
\(\bar{K}(0,1) = \{ x \in \mathbb{R}^{n} ; d(x,0) \leq 1 \}.\)
Ce narisemo graf te funkcije mora biti funkcija na intervalu \([0,1]\) konveksna (kot recimo za standardno metriko, dobimo kroznico za n=2).
lp
Tega pa sploh ne razumem. Graf katere funkcije? Na kakšnem intervalu?vid napisal/-a:Kot zanimivost, prijatelj je prisel do ugotovitve, da ce narisemo v nasi metriki zaptro kroglo z srediscem v \(x=0\) in radijem \(\varepsilon=1\)
\(\bar{K}(0,1) = \{ x \in \mathbb{R}^{n} ; d(x,0) \leq 1 \}.\)
Ce narisemo graf te funkcije mora biti funkcija na intervalu \([0,1]\) konveksna (kot recimo za standardno metriko, dobimo kroznico za n=2).
lp