taylorjeva formula

[fogl]

Tayloryeva formula je definirana kot: f(x)=f(a)+f'(a)*(x-a)+(f''(a)*(x-a)^2)/6+...

Zdej me pa zanima, zakaj so pri izpeljavi trigonometričnih funkcij, npr sin(x)=x-(x^3)/6+... vzeli za a ravno 0. Zakaj pa niso sin(x) izpeljali za npr. a=pi/37 ?

[Aniviller]

Saj ga lahko razvijes kakorkoli hoces, tudi okrog pi/37 ce ti pase. Ce bos poskusil razviti (in mogoce celo zapomniti), ti bo takoj jasno zakaj nihce ne racuna trigonometricnih funkcij z razvojem okrog takih tock

[fogl]

Sem probal za pi/2, pa se dobil za prve štiri člene, da je \(sin(x)=1-\tfrac{(x- \pi/2)^2}{2!}\) , kar je nekaj povsem drugega kot za 0, pa tudi če vstavim nek x, dobim napačen rezultat, tudi če ga primerjam z vrsto z razvojem okoli 0.

[Aniviller]

Vrsta za sinus konvergira po celi realni osi. Dobit moras isto, verjetno si sestel premalo clenov. Poskusi si narisat s kaksnim programom.
Seveda je pa vrsta cisto drugacna, saj zahtevas da je polinom priblizek funkcije v drugi tocki kot prej. Sele ko sestejes neskoncno clenov, dobis isti rezultat.
p.s. Ce razvijas okrog pi/2 bos dobil vrsto za kosinus (ce ze nisi opazil pri drugem clenu), vstavljeno pri x-pi/2, ker velja
\(\cos\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\)


Opozoriti pa moram, da ne velja za vse funkcije, da Taylorjeve vrste konvergirajo po celi realni osi. Za tiste je pomembno kje razvijas, ker vrsta velja samo v doloceni blizini tiste tocke. Primer je \(\frac{1}{1+x^2}\), ce razvijes okrog 0, bo konvergencni radij 1 (torej vrsta konvergira na intervalu (-1,1)), ce pa razvijes npr. okrog 2, bo konvergencni radij \(\sqrt{5}\) in bo vrsta veljala na priblizno (-0.24,4.24)). Zunaj teh obmocij bodo cleni vrste vedno vecji, vsota ti ''pobegne''.

Pa se to, pri lepih funkcijah se da uganit pravilo, da ti ni treba racunat odvodov.

[fox]

kako to resim
Naj bo f(x) = (1 − x) ln(1 − x^2)
razvij okoli x0=0
in doloci 100-ti odvod v tocki 0

[msenekovic]

V čem je sploh finta te Taylorjeve formule.. zakaj oz. računanje česa se najbolj uporablja v praksi?

[Aniviller]

Joj a se hecas? Taylorjeva formula je kruh in mleko fizike, se stalno uporablja. V osnovi Taylorjev razvoj opise obnasanje funkcije v neposredni okolici neke tocke, in to je uporabno za ugotovitev obnasanja v tej okolici (recimo v okolici minimuma funkcija izgleda kot parabola, od koder dobis frekvence nihanj okrog izhodisce), izracun v primerih ko znas resit za polinomsko funkcijo, cela funkcija je pa katastrofalno komplicirana; lahko prava funkcija sploh ni znana in uporabis polinomski nastavek s par cleni in dobis vsaj priblizno dogajanje. Ce imas recimo kaj za resit (diferencialna enacba, integral, vsota...) in je stvar neresljiva v zakljuceni obliki, lahko razvijes po taylorju, po clenih resis (integriras vsak clen posebej,..) in imas rezultat izrazen kot vsoto potencne vrste: bolje kot nic in za prakticne primere ravno tako dobro, pa se priblizek dobis ce obdrzis samo par clenov. Obnasanje v okolici je tudi uporabno, ko dejansko isces fizikalne zakone za nek sistem in zapises zakone (recimo 2. newtonov) za nek majhen koscek, razvijes, in dobis obnasanje, ki je v limiti tocno in dobis diferencialno enacbo, ki velja za sistem. Podobno dobis tudi oceno napake racuna iz napake vhodnih podatkov. Razvoj ti ponavadi pove vec kot original - razbije na prispevke z vedno manjso pomembnostjo. V dolocenih primerih imajo posamezni cleni celo pomen (recimo v smislu da nicti clen pove direkten prispevek, recimo osvetlitve prostora, prvi clen osvetlitev po enem odboju od okolice,...). In tako naprej. Niti ne morem nehat nastevat

Za nalogo: funkcijo ln(1-x^2) znas razvit, ker poznas razvoj ln(1-u)=-(u+u^2/2+u^3/3+....), in u je tisti mali odmik od 1, v tem primeru u=x^2.

Ker tisto z logaritmom lahko zapises kot splosni clen (z n-ji) imas tudi za cel izraz splosni clen, iz katerega lahko n=100 direktno izrazis.