kako rešimo neenačbo?

[marciii]

imam dva primera:

1.
|2x|>|4-|x||

2.
|x-1|-1<1/|x|


upam da mi bo znal kdo pomagati

[Aniviller]

Razbijes na podprimere (za vsakega se veljajo pogoji)
1.
Ce je 2x pozitivno, odstranis absolutno vrednost, drugace dodas minus. istocasno to lahko naredis z notranjo absolutno vrednostjo
\(2x >|4-x| \quad\wedge\quad x>0\)
\(-2x >|4+x| \quad\wedge\quad x<0\)
Poskusi vedno obdrzati pogoj zraven, ker tako lazje vidis, ce pride do protislovja - jaz bom kar pisal z znakom "in" - pogoji v isti vrstici morajo veljati vsi hkrati
Pri vsakem primeru to naredis se na desni
\(2x >4-x \quad\wedge\quad x>0 \quad\wedge\quad 4-x>0\)
\(2x >x-4 \quad\wedge\quad x>0\quad\wedge\quad 4-x<0\)
\(-2x >4+x \quad\wedge\quad x<0\quad\wedge\quad 4+x>0\)
\(-2x >-x-4 \quad\wedge\quad x<0\quad\wedge\quad 4+x<0\)
Z risanjem ali kako drugace lahko zdaj zadnji dve neenakosti v vsaki vrstici zdruzis (rises v bistvu lahko ze od vsega zacetka, le bolj komplicirano je), istocasno lahko v prvi neenakosti das ikse na isto stran (in ustrezno pomnozis z -1)
\(x >\frac{4}{3} \quad\wedge\quad 0<x<4\)
\(x >-4 \quad\wedge\quad x>4\)
\(x<-\frac{4}{3} \quad\wedge\quad -4<x<0\)
\(x<4 \quad\wedge\quad x<-4\)
Neenakosti veljajo, kjer veljata oba pogoja - prvi pogoj velja med 4/3 in 4, drugi pa od tam naprej, tako da lahko zdruzis. podobno tretji in cetrti
\(x>\frac{4}{3}\)
\(x<-\frac{4}{3}\)
To lahko kompaktno napises kot
\(|x|>\frac{4}{3}\)

2.
\(|x-1|-1<1/|x|\)
razcepis levo absolutno vrednost
\(x-2<1/|x| \quad\wedge\quad x>1\)
\(-x<1/|x| \quad\wedge\quad x<1\)
lahko bi zdaj se desno razcepil, ampak takoj vidis, da je v prvem primeru x itak pozitiven (ker velja x>1) in lahko odstranis abs. Pri drugi pa moras
\(x-2<1/x \quad\wedge\quad x>1\)
\(-x<1/x \quad\wedge\quad x<1\quad\wedge\quad x>0\)
\(-x<-1/x \quad\wedge\quad x<1\quad\wedge\quad x<0\)
V tistih enacbah, kjer je x>0 lahko mnozis z x, tam kjer je negativen pa mnozis z -x, v obeh primerih mnozis s pozitivno kolicino in se znak ne obrne. Zduzis lahko tudi v 3. vrstici zadnji dve enacbi
\(x(x-2)<1 \quad\wedge\quad x>1\)
\(-x^2<1 \quad\wedge\quad 0<x<1\)
\(x^2<1 \quad\wedge\quad x<0\)
s skico in kvadratno enacbo ugotovis, da je \(x^2-2x-1<0\) res na intervalu \(1-\sqrt{2}<x<1+\sqrt{2}\). \(-x^2<1\) je vedno res, ker je leva stran itak negativna. Zadnja enacba velja v primeru \(-1<x<1\). Ko vse tri vrstice poenostavis:
\(1<x<1+\sqrt{2}\)
\(0<x<1\)
\(-1<x<0\)
To je itak zdruzeno obmocje, tako da
\(-1<x<1+\sqrt{2}\)
skica leve in desne strani to potrdi (glej sliko)


Tukaj sem skozi pisal manjse/vecje, tako da sam preveri kako je z robovi obmocja, ali so vkljuceni ali niso.
V vecini primerov gre z risanjem obmocja, vendar moras vseskozi paziti, da veljajo tudi predpostavke, ki si jih uporabil pri odstranjevanju absolutnih vrednosti. Tako v bistvu razcepis enacbe na vec neodvisnih primerov, kjer pa vsak primer vsebuje vec zahtev, ki morajo vse veljati.

[marciii]

hvala za obrazložitev, me pa zanima če obstaja še kakšna drugačna možnost za reševanje neenačb?
LP

[Aniviller]

Hja, na stopnji, ko je dovolj poenostavljeno za tvojo predstavo, lahko poskusas na pamet ali z risanjem obmocij. Po drugi strani ti risanje grafov leve in desne strani takoj pokaze obmocja, na katerih so aktualni doloceni predznaki in moras potem le se izracunat presecisca dolocenih krivulj. Zato sem tudi pokazal graf.

[marciii]

ja pri drugi nalogi imam pa rešitev:(-1,0) U (0,1+√2)

[marciii]

2.
\(|x-1|-1<1/|x|\)
razcepis levo absolutno vrednost
\(x-2<1/|x| \quad\wedge\quad x>1\)
\(-x<1/|x| \quad\wedge\quad x<1\)

zanima me še kako se tole dobil :

\(-x<1/|x| \quad\wedge\quad x<1\)

od kje je samo 1, 2 pa ni?

[marciii]

[quote="marciii"]2.
\(|x-1|-1<1/|x|\)
razcepis levo absolutno vrednost
\(x-2<1/|x| \quad\wedge\quad x>1\)
\(-x<1/|x| \quad\wedge\quad x<1\)

zanima me še kako se tole dobil :

\(-x<1/|x| \quad\wedge\quad x<1\)
že vem ja -(x-1)-1
pa pride potem -x +1-1
-x tist pa izgine

[marciii]

zanima me zakaj je pri prvi nalogi x<1,
pri dugi nalogi je pa x<0
?
kje se je dobil ta pogoj?

[Aniviller]

Tisto je pogoj, pod katerim je tisto v absolutni vrednosti negativno. Vedno, kadar odpres absolutno vrednost, dobis dva primera in moras lociti, kdaj je kateri. Ker je bilo
|x-1|, je pogoj pac x>1 za pozitivno in x<1 za negativno.

[kosho99]

neenačba:

\(|x^2 - 1| - x + 1 \le 0\)

razbijem na:
\(|(x+1)(x-1)| - x + 1 \le 0\)

dobim 3 intervale: \((-\infty, -1]\); \((-1, 1]\); \((1, \infty)\); drži?

za 1. interval \((-\infty, -1]\) dobim:

\(x(x-1) \le0\)
\(x_1=0; x_2=1\)

rešitev ni z intervala, rešitve ni

za 2. interval \((-1, 1]\) dobim:

\(x^2+x-2 \ge0\)
\((x+2)(x-1) \ge0\)
\(x_1=-2; x_2=1\)

rešitev je 1

za 3. interval \((1, \infty)\) dobim: (enako kot za prvi)

\(x(x-1) \le0\)
\(x_1=0; x_2=1\)

rešitev je 1

končna rešitev R = 1

bi to držalo?