ekstremne vrednosti funkcije??

O matematiki, številih, množicah in računih...
bogi
Prispevkov: 75
Pridružen: 23.8.2008 11:36

Re: ekstremne vrednosti funkcije??

Odgovor Napisal/-a bogi »

Aniviller napisal/-a:Odvod po parametru, ki nima veze z integracijsko spremenljivko, se lahko prenese pod integralski znak.
Zato je
\(\frac{\partial f}{\partial x}=\int_{-1}^1 2(t^3-t^5-xt-y)(-t)dt\)
\(\frac{\partial f}{\partial y}=\int_{-1}^1 2(t^3-t^5-xt-y)(-1)dt\)
To je pa lazje integrirat.

No, lahko bi tudi najprej zintegriral pa potem odvajal :)
Zakaj je (-t)?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: ekstremne vrednosti funkcije??

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ja odvajas po x. Verizno pravilo - najprej odvajas kvadrat, potem mnozis se z odvodom tistega notri.
\(\frac{\partial (t^3-t^5-xt-y)}{\partial x}=-t\)
Podobno z y.

bogi
Prispevkov: 75
Pridružen: 23.8.2008 11:36

Re: ekstremne vrednosti funkcije??

Odgovor Napisal/-a bogi »

Pri prvem integralu dobim
\(=-\frac{8}{35}+\frac{4x}{3}\)
torej je x koordinata \(\frac{6}{35}\)?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: ekstremne vrednosti funkcije??

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Tako ja. Iz druge pa dobis y=0.

bogi
Prispevkov: 75
Pridružen: 23.8.2008 11:36

Re: ekstremne vrednosti funkcije??

Odgovor Napisal/-a bogi »

Torej je ekstrem \((\frac{6}{35},0)\)

bogi
Prispevkov: 75
Pridružen: 23.8.2008 11:36

Re: ekstremne vrednosti funkcije??

Odgovor Napisal/-a bogi »

Pri tem primeru
\(f(x, y)=\int_{-1}^1(sin(\pi t)-xt-y)^2dt\)
dobim
\(x=\frac{3}{\pi}\)
za y pa mi ostane samo \(2y.\) Ali to pomeni da je y=0?

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: ekstremne vrednosti funkcije??

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Seveda, enacba je pac 2y=0. Saj to se je zgodilo ze pri prejsnji nalogi.

bogi
Prispevkov: 75
Pridružen: 23.8.2008 11:36

Re: ekstremne vrednosti funkcije??

Odgovor Napisal/-a bogi »

Kaj pa če imam za izračunati minimum funkcije
\(f(x,y)=\int_0^1(z^2-xy-y)^2 dz\)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: ekstremne vrednosti funkcije??

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

No saj, enako kot vse prejsnje.
\(\frac{\partial f}{\partial x}=\int_0^1 2(z^2-xy-y)(-y)dz=-2y\int_0^1(z^2-xy-y)dz\)
\(\frac{\partial f}{\partial y}=\int_0^1 2(z^2-xy-y)(-x-1)dz=-2(1+x)\int_0^1(z^2-xy-y)dz\)
En ekstrem dobis ze brez racunanja integrala: y=0, x=-1. Kadar je pa integrand enak 0 sta pa itak oba odvoda nicelna (ker odvod po x in y vsebuje isti clen).
\(\int_0^1(z^2-xy-y)dz=\frac{1}{3}-y(x+1)\)
Funkcija ima torej zleb pri \(y=\frac{1}{3(x+1)}\)
Izkaze se, da je prvi ekstrem sedlo, zleb je pa minimum.

To preveris z drugimi odvodi:
\(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2y^2\)
\(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2(1+x)^2\)
\(\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=2y(1+x)-2\int_0^1(z^2-xy-y)dz\)
Pri ekstremu y=0,x=-1 so itak vsi odvodi razen mesanega 0, tako da je oblika zagotovo sedlasta. Pri zlebu pa vstavis y in ugotovis
\(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{2}{9(1+x)^2}\)
\(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2(1+x)^2\)
\(\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{2}{3}\)
Determinata Hessejeve matrike je identicno enaka nic, kar pomeni da je najmanj v eni smeri drugi odvod nic - zleb.

majci_19
Prispevkov: 14
Pridružen: 19.2.2009 20:04

Re: ekstremne vrednosti funkcije??

Odgovor Napisal/-a majci_19 »

Kako najdem vse vezane ekstreme funkcije z=xy na elipsi z enačbo x^2+3y^2=6?
Je mogoče tako:Slika

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: ekstremne vrednosti funkcije??

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ok, do zadnje vrstice, kjer je vse narobe!
Prvic, narobe korenjeno!
Drugic, resitvi sta dve.

jamar123
Prispevkov: 11
Pridružen: 10.12.2012 19:50

Re: ekstremne vrednosti funkcije??

Odgovor Napisal/-a jamar123 »

Lp

spet imam težavo z nalogo

Določite ekstremne vrednosti funkcije g(x)=\(x^3-x^2+x\)

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: ekstremne vrednosti funkcije??

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Odvajaj in poisci nicle. Odvod bo dal kvadratno enacbo, ki se jo lotis po znanem postopku. Ko ugotovis, da je diskriminanta negativna, ves da nicel odvoda (lokalnih ekstremov funkcije) ni. Funkcija tece monotono narascajoce od -neskoncnost do neskoncnosti.

jamar123
Prispevkov: 11
Pridružen: 10.12.2012 19:50

Re: ekstremne vrednosti funkcije??

Odgovor Napisal/-a jamar123 »

se pravi ko odvajas ti pride tako:
\(3x^2-2x+1\)

diskriminanta je D=-8

to funkcijo sem narisal v programu GraphCalc in mi kaze da graf spremeni smer v točki (0.333,0.666)
tam je torej minimum ali kako, hvala za odgovor.

Uporabniški avatar
Aniviller
Prispevkov: 7263
Pridružen: 15.11.2004 18:16

Re: ekstremne vrednosti funkcije??

Odgovor Napisal/-a Aniviller »

Ja, ampak to je ekstrem odvoda - ena stopnja naprej (torej, nicla drugega odvoda). Tam ima osnovna funkcija prevoj. Ekstremov pa osnovna funkcija nima, ker odvod nima nicel.

Odgovori