ekstremne vrednosti funkcije??

[marciii]

imam primer:
poišči ekstremne vrednosti funkcije f(x,y)=x^2-x-y^2 na trikotniku z oglišči T(0,0), T(1,0),T(0,1) ?

se to dela z odvodi oziroma celo s parcialnimi odvodi, na podlagi le teh izračunamo stacionarne točke,potem pa še ugotovimo obnašanje funkcije f na "robu)...? Ali je ta moj postopek napačen,

[Aniviller]

Tako ja. Poisces ekstreme v notranjosti (nicle odvodov po x in y). Ce hoce imeti globalni ekstrem, moras poiskati pa se ektreme na robu (vezani ekstremi) in vrednosti v ogliscih. Globalni ekstrem je potem najvecji / najmanjsi izmed teh ekstremov.

[marciii]

aha no jaz sem začel najprej s parcialnimi odvodi:
"parcialno po f-u odvajam po x-u"=2x-1
"parcialno po f-u odvajam po y-u"=-2y

zdej je pa ta sistem: 2x=1
-2y=0

me pa zanima kako to rešim namreč, ker ni povsod x in y, ali sem se kje zmotil. Sej je do sem pravilno,sam tuki se mi zatakne-...

[Aniviller]

Se bolje, to pomeni, da samo izrazis x=0.5, y=0.

[marciii]

to se pravi sta stacionarni točki x=0,5 in Y=0
kako se pa pol naprej lotim, da še ugotovim obnašanje funkcije na robu?

[Aniviller]

To je ena stacionarna tocka, ne dve. Za rob pa isces vezane ekstreme, mislim pa da tukaj ni to misljeno. Pri tej funkciji itak na robovih dobis ocitne stvari: spodnji rob ni zanimiv, ker dobljeni ekstrem itak ze lezi na njemu (dobis istega), na posevnem robu trikotnika ni ekstremov, na levem robu pa dobis takoj y=0, x=0.
Na splosno kvadratna funkcija ne more nevem kaj zanimivega prinest na robu.

[marciii]

ja v rešitvah piše minimalna vrednost je -1 v oglišču(0,1) ter maksimalno vrednost 0 v točkai (0,0) in (1,0)
jaz ko računam mi pride drugačna rešitev

[Aniviller]

Aja, potem pa je to misljeno Vedno moras na koncu primerjat ekstreme robov, ekstreme znotraj in oglisca. In izbrati najbolj ekstremnega. Rob je npr. lahko linearna funkcija, ki nima lokalnih ekstremov. Ce jo pa odrezes, je pa rob ekstremen.

[marciii]

kako pa se potem do te rešitve pride?

[marciii]

pa še eno vprašanje imam zate kera knjiga je dobra za te primere ekstremne vrednosti funkcije,definicijska območja,načrtovanje grafov (ničle,poli,asimpote...),neenačbe,premice, kera knjiga je dobra in da je tudi tko bolj po "domače" razloženo??
namreč imam od Oblaka in te primerov sploh ni nič,imam od Turnška tuki je nekaj sam bole malo.Rad bi pa kakšno dobro knjigo da bi se vse te zadeve lahko dobro naučil.
Kje si se pa ti učil matematiko?

[Aniviller]

Saj pravim, poleg lokalnih ekstremov na robovih moras preveriti tudi sama oglisca, kaksen je tam f(x,y). Lahko da so vecja od lokalnih ekstremov, lahko pa da niso, to moras potem ugotovit tako, da izracunas vrednosti funkcije v vseh teh tockah.

Tole je le del tistega, kar pridobis v prvih dveh letih na fizikalnem faksu, cisto rutinske naloge.

Knjigo pa tezko priporocim, za konkretno to podrocje matematike pa res nisem nikoli uporabil ucbenikov, je bila skripta iz predavanj dovolj podrobna.

[marciii]

evo jaz sem do teh stacinoranih točk prišel,zdej pa nevem kako naj poiščem vrednosti znotraj območja?
x=0.5 in x=0
kako naj poiščem na ogliščih trikotnika T(0,0),T(1,0),T(0,1) ?

[Aniviller]

ja vstavi tocke v f!
f(0.5,0)=-0.25
f(0,0)=0
f(1,0)=0
f(0,1)=-1

[bogi]

Kako se reši takšno nalogo?
Poisci lokalni ekstrem funkcije f, ki je dana kot integral z realnima parametroma:
\(f(x, y)=\int_{-1}^1(t^3-t^5-xt-y)^2dt\)

[Aniviller]

Odvod po parametru, ki nima veze z integracijsko spremenljivko, se lahko prenese pod integralski znak.
Zato je
\(\frac{\partial f}{\partial x}=\int_{-1}^1 2(t^3-t^5-xt-y)(-t)dt\)
\(\frac{\partial f}{\partial y}=\int_{-1}^1 2(t^3-t^5-xt-y)(-1)dt\)
To je pa lazje integrirat.

No, lahko bi tudi najprej zintegriral pa potem odvajal