Kvarkadabra forum

Aniviller napisal/-a:Odvod po parametru, ki nima veze z integracijsko spremenljivko, se lahko prenese pod integralski znak.
Zato je
\(\frac{\partial f}{\partial x}=\int_{-1}^1 2(t^3-t^5-xt-y)(-t)dt\)
\(\frac{\partial f}{\partial y}=\int_{-1}^1 2(t^3-t^5-xt-y)(-1)dt\)
To je pa lazje integrirat.

No, lahko bi tudi najprej zintegriral pa potem odvajal

Zakaj je (-t)?

Ja odvajas po x. Verizno pravilo - najprej odvajas kvadrat, potem mnozis se z odvodom tistega notri.
\(\frac{\partial (t^3-t^5-xt-y)}{\partial x}=-t\)
Podobno z y.

Pri prvem integralu dobim
\(=-\frac{8}{35}+\frac{4x}{3}\)
torej je x koordinata \(\frac{6}{35}\)?

Tako ja. Iz druge pa dobis y=0.

Torej je ekstrem \((\frac{6}{35},0)\)

Pri tem primeru
\(f(x, y)=\int_{-1}^1(sin(\pi t)-xt-y)^2dt\)
dobim
\(x=\frac{3}{\pi}\)
za y pa mi ostane samo \(2y.\) Ali to pomeni da je y=0?

Seveda, enacba je pac 2y=0. Saj to se je zgodilo ze pri prejsnji nalogi.

Kaj pa če imam za izračunati minimum funkcije
\(f(x,y)=\int_0^1(z^2-xy-y)^2 dz\)

No saj, enako kot vse prejsnje.
\(\frac{\partial f}{\partial x}=\int_0^1 2(z^2-xy-y)(-y)dz=-2y\int_0^1(z^2-xy-y)dz\)
\(\frac{\partial f}{\partial y}=\int_0^1 2(z^2-xy-y)(-x-1)dz=-2(1+x)\int_0^1(z^2-xy-y)dz\)
En ekstrem dobis ze brez racunanja integrala: y=0, x=-1. Kadar je pa integrand enak 0 sta pa itak oba odvoda nicelna (ker odvod po x in y vsebuje isti clen).
\(\int_0^1(z^2-xy-y)dz=\frac{1}{3}-y(x+1)\)
Funkcija ima torej zleb pri \(y=\frac{1}{3(x+1)}\)
Izkaze se, da je prvi ekstrem sedlo, zleb je pa minimum.

To preveris z drugimi odvodi:
\(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2y^2\)
\(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2(1+x)^2\)
\(\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=2y(1+x)-2\int_0^1(z^2-xy-y)dz\)
Pri ekstremu y=0,x=-1 so itak vsi odvodi razen mesanega 0, tako da je oblika zagotovo sedlasta. Pri zlebu pa vstavis y in ugotovis
\(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{2}{9(1+x)^2}\)
\(\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2(1+x)^2\)
\(\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{2}{3}\)
Determinata Hessejeve matrike je identicno enaka nic, kar pomeni da je najmanj v eni smeri drugi odvod nic - zleb.

Kako najdem vse vezane ekstreme funkcije z=xy na elipsi z enačbo x^2+3y^2=6?
Je mogoče tako:

Ok, do zadnje vrstice, kjer je vse narobe!
Prvic, narobe korenjeno!
Drugic, resitvi sta dve.

Lp

spet imam težavo z nalogo

Določite ekstremne vrednosti funkcije g(x)=\(x^3-x^2+x\)

Odvajaj in poisci nicle. Odvod bo dal kvadratno enacbo, ki se jo lotis po znanem postopku. Ko ugotovis, da je diskriminanta negativna, ves da nicel odvoda (lokalnih ekstremov funkcije) ni. Funkcija tece monotono narascajoce od -neskoncnost do neskoncnosti.

se pravi ko odvajas ti pride tako:
\(3x^2-2x+1\)

diskriminanta je D=-8

to funkcijo sem narisal v programu GraphCalc in mi kaze da graf spremeni smer v točki (0.333,0.666)
tam je torej minimum ali kako, hvala za odgovor.

Ja, ampak to je ekstrem odvoda - ena stopnja naprej (torej, nicla drugega odvoda). Tam ima osnovna funkcija prevoj. Ekstremov pa osnovna funkcija nima, ker odvod nima nicel.